Правоъгълен триъгълник - формула на Питагор
дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник – формула на Питагор
лице на правоъгълен триъгълник - височина и проекции на катети
лице на правоъгълен триъгълник - хипотенуза и проекция на единия катет
лице на равнобедрен триъгълник - периметър и средна основа
периметър на равнобедрен триъгълник - основа и ъгъл при върха
Триъгълник е равнинна фигура с три страни, свързващи всеки от неговите върхове. Пресечните точки на страните се наричат върхове на триъгълника. За всяка страна от един триъгълник има два прилежащи ъгъла, за които страната се явява рамо и един срещулежащ ъгъл.
За всеки триъгълник важи правилото срещу равни страни лежат равни ъгли - обратното твърдение също е вярно.
Ако разглеждаме отношения между дължини на страните, то всеки триъгълник може да бъде един от следните видове:
Равностранен триъгълник: страните му са равни; всички вътрешни ъгли са равни на 60 градуса; медиани, ъглополовящи и височини са равни по дължина и съвпадат. Два равностранни триъгълника са винаги подобни.
Равнобедрен триъгълник: две от страните му са равни по дължина и се наричат бедра, а третата страна –основа. Височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат. Двата ъгъла сключени между бедро и основа са равни.
Разностранен триъгълник: трите му страни са с различна дължина, трите ъгъла са различни.
Ако дължини на страни в триъгълник са; a,b,c а полупериметъра p=(a+b+c)/2, то дължината на всяка страна от триъгълника е по-малка от полупериметъра p.
Ще отбелязваме срещулежащите ъгли за всяка от страните в триъгълника с главни латински букви, а с R радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Така лице на триъгълник S:
S = 0.5*a*b*sin(C) = 0.5*a*c*sin(B) = 0.5*b*c*sin(A)
S = R*R*sin(A)*sin(B)*sin(C) = a*b*c / (4*R)
Правият ъгъл е равен на 90 градуса. Сумата от всички вътрешни ъгли в един триъгълник е 180 градуса.
Ако разглеждаме отношения между произволен ъгъл в триъгълник и правия ъгъл, то всеки триъгълник може да бъде един от следните видове:
Остроъгълен триъгълник – всеки ъгъл е по-малък от 90 градуса.
Правоъгълен триъгълник – един от ъглите е прав. Срещулежащата страна срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза c, а останалите две страни катети a,b.
c*c = a*a +b*b - формула на Питагор
Височината към хипотенузата я дели на две части, представляващи проекции на бедрата: hc*hc = m * n c= m + n
Ако m е проекция на катета a, a n е проекция на катета b, c е хипотенуза, то следствие на Питагоровата теоремата е:
a*a = m*c, както и b*b = n*c
Чрез тригонометрични функции: a = c*sin(A) = c*cos(B); b = c*sin(B) = c*cos(A) a = b*tan(A); b = a*tan(B)
Тъпоъгълен триъгълник – един от ъглите е по-голям от 90 градуса.
Височина в триъгълник е най-късото разстояние между връх на триъгълник и срещулежащата му страна. Общата точка между височината и страната се нарича пета на височината. Пресечната точка на височините в триъгълник се нарича ортоцентър. Ако триъгълникът е тъпоъгълен ортоцентъра лежи извън триъгълника – получава се чрез продължение на височините. Ако триъгълникът е правоъгълен то ортоцентъра съвпада с върха на правия ъгъл.
Ъглополовяща или бисектриса е права деляща ъгъл на две равни части. Всяка точка от дадена ъглополовяща отстои на равни разстояния от двете рамена на ъгъла.
В триъгълник с дължини на страни a,b,c е спусната ъглополовяща La от ъгъла срещулежащ на страната а. Тя дели страната а на две отсечки с дължини m,n.
ъглополовяща La = sqrt(b*c -m*n), a=m+n;
ъглополовяща Lb = sqrt(a*c -m*n), b=m+n;
ъглополовяща Lc = sqrt(a*b -m*n), c=m+n.
Полупериметър на триъгълник : p =(a+b+c)/2
ъглополовяща La= 2*sqrt( b*c*p*(p-a) )/(b+c)
ъглополовяща Lb= 2*sqrt( a*c*p*(p-b) )/(a+c)
ъглополовяща Lc= 2*sqrt( a*b*p*(p-c) )/(a+b)
Тази формула може да се приложи съответно за всяка ъглополовяща в разглеждания триъгълник.
Медиана в триъгълник е отсечка свързваща връх на триъгълник със средата на срещулежащата му страна. Пресечната точка на медианите в триъгълник се нарича медицентър или център на тежестта.
Дължините на медианите Ma, Mb, Mc към страните на триъгълника a,b,c мога да се изразят със следните формули:
медиана Ma=0.5*sqrt(2*b*b + 2*c*c - a*a);
медиана Mb=0.5*sqrt(2*a*a + 2*c*c - b*b);
медиана Mc=0.5*sqrt(2*a*a + 2*b*b - c*c);
Обратно: страните на триъгълник a,b,c могат да се изразят чрез дължините на медианите в същия триъгълник:
a=2*sqrt(2*Mb*Mb + 2*Mc*Mc - Ma*Ma)/3;
b=2*sqrt(2*Ma*Ma + 2*Mc*Mc - Mb*Mb)/3;
c=2*sqrt(2*Ma*Ma + 2*Mb*Mb - Mc*Mc)/3;
дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник – формула на Питагор
Изчисляване дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник чрез формула на Питагор е в основата на множество задачи по математика и информатика.
Нека са дадени 2 реални числа a,b,c представляващи дължини на катети в правоъгълен триъгълник.Съгласно известната формула на Питагор: квадрата на хипотенузата е равна на сумата от квадратите на двата катета c*c=a*a + b*b
Лицето на триъгълник е равно на половината от произведението на страна и височина към нея. Във всеки правоъгълен триъгълник двата катета сключват прав ъгъл и така единият катет се явява височина към другия катет. В сила е и обратното твърдение.
S = 0.5*a*b = 0.5*c*hc, където hc е височина към хипотенуза.
Следващата примерна програма дава решение на задача за изчисляване дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник по формулата на Питагор.
лице на правоъгълен триъгълник - височина и проекции на катети
Даден е правоъгълен триъгълник с височина към хипотенузата. Петата на тази височина дели хипотенузата на две отсечки съответно с дължини p и q. Всяка от тези отсечки представлява проекция на съответните катети в този правоъгълен триъгълник.
Зависимостта между височината към хипотенузата и проекциите на катетите е: h*h=p*q. Това е едно от следствията в теоремата на Питагор.
Сумата от двете проекции дава дължина на хипотенуза в този правоъгълен триъгълник. Лице на триъгълник ще изчислим по формулата S = c*hc/2.
Да разгледаме следната задача: Даден е правоъгълен триъгълник, за който се знае, че височината към хипотенузата я дели на две отсечки с дължина p и q. Търси се лице на триъгълник. Пример: 5,5 Изход 25

Следващата примерна програма дава решение на задача за изчисляване лице на правоъгълен триъгълник по въведена височина и проекции на катети.
лице на правоъгълен триъгълник - хипотенуза и проекция на единия катет
Имаме правоъгълен триъгълник, за който са въведени дължина на хипотенуза c и дължината на проекцията m на един от катетите. Търсим лице S на правоъгълния триъгълник.

Квадратът на катета a е равен на произведението от проекцията върху хипотенузата m и хипотенузата c a*a=m*c. Чрез теорема на Питагор намираме втория катет b*b = c*c - a*a. лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2
Следващата примерна програма дава решение на задача за изчисляване лице на правоъгълен триъгълник по въведени хипотенуза и проекция на единия катет.
лице на равнобедрен триъгълник - периметър и средна основа
Имаме равнобедрен триъгълник с въведени: P - периметър и Lср - дължина на средна отсечка, успоредна на основата в този равнобедрен триъгълник. Търсим лице на триъгълник. P и Lср са реални числа от интервала [1..101].

Алгоритъм
Дължината на страната, в случая основата на равнобедрения триъгълник е 2 пъти дължината на
средната отсечка. Така a = P - 2*Lср.
Дължините на двете бедра са равни - по условие триъгълника е равнобедрен.
Така дължината на бедрото b = (P-2*Lср)/2.
Изчислени са и трите страни на триъгълника. Ще използваме формула на Херон:
S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-b)), където p = P/2.
Пример: P = 22; Lср = 4 Изход: Лице S = 22.9783
периметър на равнобедрен триъгълник - основа и ъгъл при върха
Да разгледаме следната задача: имаме равнобедрен триъгълник определен чрез дължина на основата и срещулежащия му ъгъл. Търсим S лице и P периметър на триъгълник.
Алгоритъмът за решение се основава на следните зависимости: Височината към основата на равнобедрен триъгълник е и медиана. Височината към основата на равнобедрен триъгълник съвпада с ъглополовящата. Формира се нов правоъгълен триъгълник със страни: бедро (хипотенуза), катет - височина към основата, катет - половината от дължината на основата и ъгли: ъгъл при основата, половината от ъгъла срещу основата.
Следващата примерна програма дава решение на задача за изчисляване периметър на равнобедрен триъгълник по въведени основа и ъгъл при върха:Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.