Правоъгълен триъгълник - катет, хипотенуза, ъгъл, височина

Да припомним някой зависимости в правоъгълен триъгълник. Ще ползваме следните означения, като спазваме правилото ъгъл с главна буква, срещулежащата страна / катет с малка буква:

a,b - катети; a1,b1 - техните проекции върху хипотенузата c;
h - височина към хипотенузата;
c*c = a*a + b*b - теорема на Питагор;
дължина на хипотенуза c = a1+b1;
дължина на хипотенуза c = a*sin(A) = b*sin(B);
дължина на височина към хипотенуза h = sqrt(a1 * b1);
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) - синусова теорема;
височина към катет е равна на другия катет;
лице на триъгълник S =a*b / 2 = c*h / 2;
височина към хипотенуза h = a*b/c;
медиана към хипотенуза mc = c/2 - ако разглеждаме правоъгълен триъгълник вписан в окръжност, то центърът на тази окръжност разполовява диаметърът - хипотенуза, а всички върхове в правоъгълния триъгълник са равноотдалечени от центъра на описаната окръжност;
радиус на описана окръжност R = a*b*c / 4*S, както и R = 0.5*c;
радиус на вписана окръжност r = 2S/(a+b+c), както и r = (a+b-c)/2;
радиус на външновписана окръжност към страна а Ra = 2S/(-a+b+c);

правоъгълен триъгълник - катет и височина

За правоъгълен триъгълник ACB са въведени катет BC и височина h към хипотенузата AB. Търсим катет AC.

Алгоритъм:
Ако тригонометрична функция sin по въведен ъгъл връща отношение между срещулежащ катет и хипотенуза в правоъгълен триъгълник, то функция asin по въведено отношение между катет и хипотенуза връща ъгъл в радиани.
Вариант 1
ще означим катет BC с а, катет AC с b, а височината към хипотенузата AB с h;
петата на височината h е т.M
разглеждаме правоъгълен триъгълник BMC
остър ъгъл ABC ygB = asin ( h /a ) ;
остър ъгъл BAC ygA = 0.5*pi - ygB
от синусова теорема b = a*sin(ygB) / sin(ygA)
Вариант 2
ползваме проекциите на двата катета върху хипотенузата в този правоъгълен триъгълник a1,b1
проекция a1 = sqrt(a*a - h*h) - теорема на Питагор в правоъгълен триъгълник
височина към хипотенуза в правоъгълен триъгълник h*h = a1*b1
проекция на другия катет b1 = a1 / h*h
катет в основния правоъгълен триъгълник b = sqrt(h*h +b1*b1)

Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - катет и височина:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double const pi=3.141592;

int main()
{double a,b,h,ygB,ygA,a1,b1;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni katet BC i\n"; 
 cout<<"h - wisochina kym hipotenuza AB. Tyrsim katet AC.\n";
 cout<<"Primer: BC=4, h=2 Izhod: AC= 2.3094 \n";
 cout<<"Wywedete katet BC: ";cin>>a;
 cout<<"Wywedete wisochina h: ";cin>>h;
 ygB = asin( h /a );
 ygA = 0.5*pi - ygB;
 b = a*sin(ygB)/sin(ygA);//sinusowa teorema
 cout<<"katet AC = "<<b<<endl;
 cout<<"Wariant 2\n";
 a1=sqrt(a*a - h*h);//proekciq na katet a
 b1=h*h/a1;//proekciq na katet b
 b=sqrt(h*h + b1*b1);//prawoygylen triygylnik
 cout<<"katet AC = "<<b<<endl;
//udwoena stojnost na lice w prawoygylen triygylnik
 cout<<"Prowerka: "<<a*b<<":"<<h*sqrt(a*a+b*b)<<endl;
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa prawoygylen triygylnik

Начало на страницата

правоъгълен триъгълник - катет и проекция

За правоъгълен триъгълник ACB са въведени катет BC и проекцията му BM върху хипотенузатата AB. Търсим S лице на този триъгълник.

Алгоритъм
Вариант 1
ще означим петата на височината от връх C с M;
ще означим страна AB - хипотенуза в този правоъгълен триъгълник със c, катет АС с b,
катет BC с a, неговата проекция BM с a1;
разглеждаме правоъгълен триъгълник BMC;
остър ъгъл ygB = acos(a/a1 );
остър ъгъл ygA = 0.5*pi - ygB;
от синусова теорема катет b = a*sin(ygB)/sin(ygA)
лице на правоъгълен триъгълник S =a*b/2 Вариант 2
разглеждаме правоъгълен триъгълник BMC;
височина h е бедро в този правоъгълен триъгълник h = sqrt(a*a - a1*a1);
в правоъгълен триъгълник h*h=a1*b1;
проекция AM на другия катет b1= h*h/a1;
от правоъгълен триъгълник AC = b = sqrt (h*h +b1*b1);
лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2
Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - катет и проекция:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double const pi=3.141592;
int main()
{double a,b,h,ygB,ygA,a1,b1,S;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni katet BC i\n"; 
 cout<<"a1 - proekciqta mu kym hipotenuza AB. Da se systawi \n";
 cout<<"programa za izchislqwane lice na prawoygylen triygylnik.\n";
 cout<<"Primer: b=4, b1=2 Izhod: S = 13.8564 \n";
 cout<<"Wywedete katet BC: ";cin>>a;
 cout<<"Wywedete proekciq a1: ";cin>>a1;
 ygB = acos( a1 /a );// prawoygylen triygylnik BMC
 ygA = 0.5*pi - ygB;
 b = a*sin(ygB)/sin(ygA);//sinusowa teorema
 cout<<"katet AC = "<<b<<endl;
 S = a*b/2;//lice na prawoygylen triygylnik ABC
 cout<<"Lice S = "<<S<<endl;
 cout<<"Wariant 2\n";
 h = sqrt(a*a - a1*a1);//wisochina kym hipotenuza
 b1 = h*h/a1;//proekciq na katet b
 b = sqrt(h*h + b1*b1);// prawoygylen triygylnik AMC
 cout<<"katet AC = "<<b<<endl;
 S = a*b/2;//lice na prawoygylen triygylnik ABC
 cout<<"Lice S = "<<S<<endl;
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa prawoygylen triygylnik

Начало на страницата

правоъгълен триъгълник - две проекции

За правоъгълен триъгълник ACB са въведени проекциите на катет BC и AC. Търсим двата остри ъгъла A,B в този триъгълник.

Алгоритъм

височина към хипотенуза h = sqrt(a1*b1); дължина на хипотенуза c = a1+b1; катет a като хипотенуза в правоъгълен триъгълник BMC а = sqrt(a1*a1 +h*h); катет b като хипотенуза в правоъгълен триъгълник AMC b = sqrt(b1*b1 +h*h); Последователно изчисляваме чрез функция asin: ygA = asin( a / c ); ygB = asin( b / c );

Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - две проекции:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double const pi=3.141592;

int main()
{double a,b,h,ygB,ygA,a1,b1,c;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni dylvini na proekcii\n"; 
 cout<<"na dwata kateta kym hipotenuza AB. Tyrsim dwata ostri ygyla A, B.\n";
 cout<<"Primer: a1=4, b1=2 Izhod: A =35.2644 ; B =54.7356 \n";
 cout<<"Wywedete proekciq a1: ";cin>>a1;
 cout<<"Wywedete proekciq b1: ";cin>>b1;
 h = sqrt (a1*b1);
 c = a1+b1;//hipotenuza w osnowniq prawoygylen triygylnik
 a = sqrt (a1*a1 +h*h);//prawoygylen triygylnik Pitagor
 b = sqrt (b1*b1 +h*h);//prawoygylen triygylnik Pitagor
 ygA = acos ( a / c );//ygyl w radiani
 ygB = acos ( b / c );
 cout<<"ygyl A w desetichni gradusi: "<<ygA*180/pi<<endl;
 cout<<"ygyl B w desetichni gradusi: "<<ygB*180/pi<<endl;
 cout<<"A+B = "<<(ygA+ygB)*180/pi<<endl;
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa prawoygylen triygylnik

Начало на страницата

правоъгълен триъгълник - ъглополовяща

Имаме правоъгълен триъгълник ACB с катети AC > BC, за който са въведени: остър ъгъл ABC; CH - височина към хипотенузата. Търсим ъглополовящата CL към хипотенуза AB.

Алгоритъм
Разглеждаме правоъгълен триъгълник BHC, където:
CH - височина
ъгъл ABC е въведен
BC = CH / cos(ABC)
Разглеждаме остроъгълен триъгълник LCB с ъгъл LCB 45 градуса - CL е ълополовяща на правия ъгъл
ъгъл LBC = ъгъл ABC, като общ ъгъл
ъгъл BLC = 180-45-ABC = 135 - ABC
Използваме синусова теорема:
BC / sin (BLC) = CL / sin (ABC)
ъглополовяща CL = BC * sin (ABC) / sin (BLC)
Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - ъглополовяща:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double const pi=3.141592;

int main()
{double CH,BL,BC,yg,ABC,BLC;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni CH wisochina kym \n"; 
 cout<<"hipotenuza AB i ostyr ygyl ABC. \n";
 cout<<"Tyrsim yglopolowqsha CL.\n";
 cout<<"Primer: CH=10, ABC=45 Izhod: CL = 10 \n";
 cout<<"Wywedete wisochina CH ";cin>>CH;
 cout<<"Wywedete ygyl ABC ";cin>>yg;
 ABC=yg*pi/180;//prewryshane gradusi w radiani
 BLC= 0.75*pi - ABC;//ygyl BLC =135 - ABC
 BC=CH/cos(ABC);//prawoygylen triygylnik BHC
 BL = BC*sin(ABC)/sin(BLC);//sinusowa teorema
 cout<<"yglopolowqsha kym hipotenuza "<<BL<<endl; 
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa prawoygylen triygylnik yglopolowqsha

Начало на страницата

правоъгълен триъгълник - медиана

За правоъгълен триъгълник ACB са въведени хипотенуза AB и остър ъгъл BMC (AC > BC), който медиана CM сключва с хипотенузата. Търсим височина към хипотенузата CH.

правоъгълен триъгълник - височина и медиана

Алгоритъм
В зависимост от въведения ъгъл петата на височината може да бъде по близо до връх A или връх B.
Точки M и H ще съвпадат, ако правоъгълния триъгълник е и равнобедрен.
Ще отбележим петата на височината с H.
Диаметърът на описана около правоъгълен триъгълник окръжност е равен на хипотенузата.
От това следва, че дължината на медианата е равна на половината от хипотенузата, т.е на радиуса на описаната окръжност.
Разглеждаме равнобедрен триъгълник BMC с бедра равни на половината от хипотенузата, основа катет BC и ъгъл при върха BMC.
остър ъгъл при основата MBC ygB = 0.5*(pi - BMC);
катет BC = AB*cos(ygB);
височина към хипотенуза CH = BC*sin(ygB);
Вариант 2:
катет AC = AB*sin(ygB);
лице на правоъгълен триъгълник S = AC * BC / 2;
височина към хипотенуза CH = 2 * S / AB = AC * BC / AB;
Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - медиана:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double const pi=3.141592;
int main()
{double AB,BC,AC,h,ygM,ygB,yg,BMC;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni hipotenuza AB i ostyr\n"; 
 cout<<"ygyl BMC mevdu mediana CM i wisochina kym hipotenuza CH.\n";
 cout<<"Tyrsim wisochina CH.\n";
 cout<<"Primer: AB=10, BMC=45 Izhod: h =3.53554 \n";
 cout<<"Wywedete hipotenuza ";cin>>AB;
 cout<<"Wywedete ygyl BMC ";cin>>yg;
 BMC=yg*pi/180;//prewryshane gradusi w radiani
 ygB = 0.5*(pi - BMC);//ygyl MBC 
 BC = AB*cos(ygB);//katet BC
 h = BC*sin(ygB);//wisochina CH
 cout<<"wisochina kym hipotenuza "<<h<<endl; 
 cout<<"Wariant 2\n";
 AC = AB*sin(ygB);//drugiq katet
 h = AC * BC / AB;
 cout<<"wisochina kym hipotenuza "<<h<<endl; 
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa prawoygylen triygylnik

Начало на страницата

правоъгълен триъгълник - височина и медиана

Имаме правоъгълен триъгълник ACB, за който са въведени дължини на двата му катета AC < BC. От връх C към хипотенузата AB са спуснати височина CH и медиана CM. Търсим дължините на отсечките AH, HM, MB.

Алгоритъм
По условие ъгъл ABC < BAC
AM = AH +HM = BM - медианата разполовява хипотенузата;
дължина на хипотенуза AB = sqrt (AC*AC + BC*BC) - теорема на Питагор;
дължина на височина CH = AC*BC / AB - от лице на правоъгълен триъгълник;
ще използваме едно от следствията на теорена на Питагор:
AC*AC = AH*AB => AH = AB/(AC*AC);
MB = 0.5*AB - половината от хипотенузата;
HM = MB - AH

Следващата примерна програма дава решена задача за правоъгълен триъгълник - височина и медиана:

 #include <iostream>
 #include <cmath> 
 using namespace std;

 int main()
 { double AB, AC, BC,CH, AH, HM, MB;
    cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s wywedeni dylvini na kateti AC i BC.\n";
    cout<<"Ot wryh C kym hipotenuzata sa spusnati wisochina CH i mediana CM.\n";
    cout<<"Tyrsim otsechkite AH, HM, MB.\n";
    cout<<"Primer: AC=3, BC = 4 Izhod AH = 1.8, HM=0.7 MB=2.5\n";
    cout<<"Wywedete katet AC: ";cin>>AC;
    cout<<"Wywedete katet BC: ";cin>>BC;
    AB = sqrt (AC*AC + BC*BC);// teorema na Pitagor
    CH = AC*BC / AB; //ot lice na prawoygylen triygylnik
    AH = AC*AC/AB;//sledstwie na Pitagor
    MB = 0.5*AB;// polowina ot hipotenuza
    HM = MB - AH;
    cout<<" AH = "<<AH<<" HM = "<<HM<< " MB = "<<MB<<endl;
 system ("pause");
 return 0;
 }// kraj na programa prawoygylen triygylnik

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

Изпълними приложения за

Правоъгълен триъгълник - катет, хипотенуза, ъгъл, височина

правоъгълен триъгълник - катет и височина

правоъгълен триъгълник - катет и проекция

правоъгълен триъгълник - две проекции

правоъгълен триъгълник - ъглополовяща

правоъгълен триъгълник - медиана

правоъгълен триъгълник - височина и медиана