Пирамида - основа, апотема, височина, повърхнина и обем

пирамида - повърхнина и обем
конус, цилиндър и пирамида
пресечена пирамида - основен и околен ръб
триъгълна пирамида – две апотеми

Нека имаме n-ъгълник в равнината. Ще наричаме пирамида геометрично тяло с n+1 върха, като негова основа е разглеждания многоъгълник, а всеки от неговите върхове е свързан с точка нележаща в равнината на този многоъгълник. Тази точка ще наричаме връх на пирамидата. Страните на основата многоъгълник се наричат основни ръбове, а страните свързани с върха на пирамидата - околни ръбове. Апотема в правилен многоъгълник е най-късото разстояние между центъра на вписаната окръжност и страна от многоъгълника, т.е. съвпада с радиуса на вписаната в многоъгълника окръжност. При дадени окръжност и хорда апотемата е перпендикулярът от центъра на окръжността към средата на хордата. m - страна на правилния многоъгълник n - брой страни в многоъгълника R - радиус на описаната окръжност Дължина на апотема a в правилен многоъгълник: a = m /(2*tan(pi/n) = R * cos(pi/n) Околните стени на пирамидата са триъгълници. За правилна пирамида са верни следните твърдения: всички околни ръбове са равни; всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата; всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата на пирамидата. Височина на пирамида h е перпендикуляра от върха на пирамидата към основата й. Апотема k на пирамида е височината на околна стена – перпендикуляра от върха на пирамидата към основен ръб. Ако основата на една пирамида е неправилен многоъгълник или ъглите между стените и основата са различни апотемата за всяка страна се изчислява поотделно съобразно спецификата на входните данни. h - височина на пирамида a - апотема на основа Дължина на апотема k на страна в правилна пирамида: k = sqrt(h*h + a*a) - теорема на Питагор Проекцията на апотемата в правилна пирамида върху основата й е апотема на основата в същата пирамида. Околната повърхнина на пирамида е сбора от лицата на всички околни стени – триъгълници. Sok = P*k/2, където P е периметъра на многоъгълника, а k е апотемата на околната страна. Пълната повърхнина на пирамида е сбор от лицето на основата и околната повърхнина. Ако петата на височината в пирамида е в центъра на основата й, то тази пирамида е права, в противен случай – наклонена. Права пирамида с основа правилен многоъгълник се нарича правилна пирамида. При пресмятане лице на основата също се ползва понятието апотема, но тук смисъла е разстояние на страна от многоъгълника (основата на пирамидата) до центъра на основата.
Околна повърхнина на правилна пирамида е: Sok = P*k/2.
Ако B е лицето на основата, а h височина в пирамида, то обема на тази пирамида е: V= B*h/3.

Триъгълна пирамида, на който трите ъгъла при един от върховете му са прави, се нарича правоъгълен тетраедър.

Пресечена пирамида е частта от пирамида заключена между две нейни успоредни сечения. За всяка правилна пресечена пирамида всички околни стени са равнобедрени трапеци, както и поотделно равни: околни ръбове, ръбове на долната основа, ръбове на горната основа, апотеми.

Начало на страницата

пирамида - повърхнина и обем

Имаме правилна четириъгълна пирамида с въведени: a - апотема на основата и k - апотема на страната. Търсим Sok - околна повърхнина, Sp - пълна повърхнина и V - обем на пирамидата.

Алгоритъм

Основата на правилната четириъгълна пирамида е квадрат със страна b=2*a;
лице на основата на пирамида - B=b*b;
периметър на основата на пирамида - P=4*b;
околна повърхнина на пирамида - Sok= P*k/2;
пълна повърхнина на пирамида - Sp= Sok +B;
обем на пирамида - V=B*H/3

Следващата примерна програма дава решена задача за повърхнина и обем на пирамида:

#include<iostream>  
#include <cmath>  
using namespace std;  

int main()  
{ double a,b,k,P, H, B,Sok,Sp,V;  
   cout<<"Imame prawilna chetiriygylna piramida, za koito sa wywedeni:\n";  
   cout<<"a - apotema na osnowata i k - apotema na stranata. Tyrsim\n";  
   cout<<"Sok - okolna powyrhnina, Sp - pylna powyrhnina i \n";  
   cout<<"V obem na piramidata.\n";  
   cout<<"Primer: a=9, k=15 Izhod: Sok =540 ; Sp=864 ; V=1296 \n";  
   cout<<"Wywedete apotema na osnowata: ";cin>>a;  
   b=2*a;  
   cout<<"Strana na osnowata b: "<<b<<endl;  
   P=4*b;  
   cout<<"Perimetyr na osnowata P: "<<P<<endl;  
   B=b*b;  
   cout<<"Lice na osnowata B: "<<B<<endl;  
   cout<<"Wywedete apotema na stranata: ";cin>>k;  
   H=sqrt(k*k - a*a);//prawoygylen triygylnik Pitagor  
   cout<<"Wisochina na piramidata: "<<H<<endl;  
   Sok= (4*b*k)/2;//okolna  
   cout<<"Okolna powyrhnina Sok: "<<Sok<<endl;  
   Sp=Sok+B;  
   cout<<"Pylna powyrhnina Sp: "<<Sp<<endl;  
   V=B*H/3;  
   cout<<"Obem na piramidata V: "<<V<<endl;  
system ("pause");  
return 0;  
}//kraj na programa piramida

Начало на страницата

конус, цилиндър и пирамида

Имаме правилна четириъгълна пирамида и прав кръгов конус. Диагоналът в основата на пирамидата d е равен на диаметъра на конуса. Височината на пирамидата h е равна на височината на конуса. d и h са реални числа и се въвеждат от клавиатурата. Търсим височина на прав кръгов цилиндър с диаметър d, чиято околна повърхнина е равна на разликата от околните повърхнини на конуса и пирамидата.

Алгоритъм

Основния ръб на пирамидата е b=d/sqrt(2) - по Питагор като дигонал в правоъгълен равнобедрен триъгълник
Периметър на основата на пирамидата P=4*b;
Апотема на околната страна на пирамидата k=sqrt(((b*b)/4)+(h*h)); - от Питагор
Околна повърхнина на пирамидата Spir=P*k/2;
Радиус на конуса r=d/2;
Образователна на конуса L=sqrt((r*r)+(h*h)) - от Питагор
Околна повърхнина на конуса Skon=pi*r*L;
Околна повърхнина на цилиндъра Scil=Skon-Spir;
Височина на цилиндъра H=Scil/(2*pi*r);

Следващата примерна програма дава решена задача за връзка между конус, пирамида и цилиндър:

#include<iostream>  
#include<cmath>  

using namespace std;  
   double const pi=3.141592;  
int main()  
{double d,h,Spir,b,k,Skon,L,P,Scil,H,r;  
   cout<<"Imame prawilna chetiriygylna piramida s dylvina na diagonala w\n";  
   cout<<"osnowata d i wisochina h, kakto i praw krygow konus s diametyr d\n";  
   cout<<"i wisochina h. Tysrim wisochna na praw krygow cilindyr s \n";  
   cout<<"diametyr na osnowata d, chiqto okolna powyrhnina e rawna na\n";  
   cout<<"razlikata ot okolnite powyrhnini na konusa i piramidata.\n";  
   cout<<"Wywedete dylvina na diganonala w osnowata d: ";cin>>d;  
   cout<<"Wywedete wisochina na piramidata h: ";cin>>h;  
   b=d/sqrt(2);//ryb na osnowata w piramidata po Pitagor  
   cout<<"Osnowen ryb na piramida: "<<b<<endl;  
   P=4*b;//perimetyr na osnowata na piramidata  
   cout<<"Perimetyr na piramida: "<<P<<endl;  
   k=sqrt(((b*b)/4)+(h*h));//apotema na piramida  
   cout<<"Apotema na okolnata strana: "<<k<<endl;  
   Spir=P*k/2;//okolna powyrhnina na piramidata  
   cout<<"Okolna powyrhnina na piramida: "<<Spir<<endl;  
   r=d/2;//radius na osnowata na konusa  
   cout<<"Radiuys na konusa: "<<r<<endl;  
   L=sqrt((r*r)+(h*h));//obrazowatelna na konusa  
   cout<<"Obrazowatelna na konusa: "<<L<<endl;  
   Skon=pi*r*L;//okolna powyrhnina na konusa   
   cout<<"Okolna powyrhnina na konusa: "<<Skon<<endl;  
   Scil=Skon-Spir;//okolna powyrhnina na cilindyra okolna powyrhnina S=2*pi*r*H  
   cout<<"Okolna powyrhnina na cilindyr: "<<Scil<<endl;  
   H=Scil/(2*pi*r);//wisochina na cilindyr    
   cout<<"wisochina na cilindyr H: "<<H<<endl;  
system("pause");  
return 0;  
}//kraj na programa piramida

Начало на страницата

пресечена пирамида - основен и околен ръб

Дадена е правилна четириъгълна пресечена пирамида, за която са въведени: a – страна, ръб на по-голямата основа, b – околен ръб на пирамидата, както и yg – ъгълът между основния и околния ръб на пресечената пирамида. Търсим Sp – пълна повърхнина на тази пресечена пирамида.

Алгоритъм:
Двете основи са квадрат – по условие е правилна пресечена пирамида.
Околните страни са равнобедрен трапец, за който знаем едната основа a, бедро b и ъгъл yg между бедро и основа.
Височината в трапеца, в случая апотема на околната страна е:
h = b*sin(yg) – следствие от правоъгълен триъгълник, където b е хипотенуза
Другата основа на трапеца е a1=a - 2*b*cos(yg) – удвоената разлика между основите.
Лицето на трапеца е и лице едната околна страна в тази /пирамида: S=h*(a+a1)/2.
Пълната околна повърхнина на пресечената пирамида Sp= 4*S + a*a + a1*a1
Следващата примерна програма дава решена задача за пълна повърхнина на пресечена пирамида:

#include <iostream>  
#include <cmath>  
using namespace std;  
double const pi=3.141592;  

int main()  
{ double a,a1,b,h, S, Sp, yg1,yg;  
  cout<<"Imame prawilna presechena chetiriygylna piramida s wywedeni: \n";  
  cout<<"a - ryb na po-golqmata osnowa, b - okolen rub, yg - ygyl mevdi a i b\n";  
  cout<<"Tyrsim pylna powyrhnina na presechenata piramida.\n";  
  cout<<"Primer: a=20, b= 10, yg=45 Izhod: 800 \n";  

  cout<<"Strana na osnowata: ";cin>>a;  
  cout<<"Okolen ryb: ";cin>>b;  
  cout<<"Ygyl mevdu osnowen i okolen ryb: ";cin>>yg1;  
  yg=pi*yg1/180;//ygyla w radiani  
  h = b*sin(yg);  
  cout<<"Apotema na okolna strana: "<<h<<endl;  
  a1=a - 2*b*cos(yg);  
  cout<<"Ryb ba wtorata osnowa: "<<a1<<endl;  
  S=h*(a+a1)/2;  
  cout<<"Lice na okolna strana: "<<S<<endl;  
  Sp=4*S +a*a +a1*a1;  
  cout<<"Pylna powyrhnina na presechenata piramida: "<<Sp<<endl;  
 system("pause");  
 return 0;  
}//kraj na programa piramida

Начало на страницата

триъгълна пирамида – две апотеми

Имаме правилна триъгълна пирамида с въведени данни за апотема на основа Ax и апотема на страна Ay. Търсим Sok – околна повърхнина, Sp – пълна повърхнина и V обем на тази триъгълна пирамида.

Алгоритъм:
Основата на правилна триъгълна пирамида е равностранен триъгълник – височини, медиани и ъглополовящи имат равни дължини и се пресичат в медицентъра. Пресечната им точка ги дели в отношение 2:1 от върха към основата. Същата точка е и пета за височина на пирамидата.
ръб на основата a = (2*Ax)/(sqrt(3)); - от теорема на Питагор
околен ръб b = sqrt(((a*a)/4)+(Ay*Ay)); - от теорема на Питагор
височина на пирамида: h = sqrt(Ay*Ay-Ax*Ax/9); - 1/3 разстоянието между медицентър и основен ръб
лице на основата B= a*Ax /2;
лице на едната околна страна S0=a*Ay/2;
обем на пирамида V=(B*h)/3;
Следващата примерна програма съдържа решена задача за триъгълна пирамида – две апотеми

#include<iostream>  
#include<math.h>  
using namespace std;  

int main()  
{double a,b,Ax,Ay,B,h,S0,S1,S,V;  
//prawilna triygylna piramida s wywedeni dylvini na dwete apotemi  
  cout<<"Imame prawilna triygylna piramida za koqto sa wywedeni: \n";  
  cout<<"Ax - apotema na osnowata i Ay - apotema na okolna strana.\n";  
  cout<<"Tyrsim Sok okolna, Sp pylna powyrhnina, kakto i V \n";  
  cout<<"obem na piramidata.\n";  
  cout<<"Primer: Ax=5 ; Ay=5   Izhod Sok=43.3013 ; Sp=57.735 ; V=22.6805 \n";  
  cout<<"Vyvedete apotema na osnovata Ax: ";cin>>Ax;  
  cout<<"Vyvedete apotema na okolnata strana Ay: ";cin>>Ay;  
  a=(2*Ax)/(sqrt(3));//osnowen ryb  
  cout<<"Osnoven ryb: "<<a<<"\n";  
  b=sqrt(((a*a)/4)+(Ay*Ay));//okolen ryb  
  cout<<"Okolen ryb: "<<b<<"\n";  
//mediacentyr - razdelq wsqka mediana w otnoshenie 2:1  
  h=sqrt(Ay*Ay-Ax*Ax/9);//wisochina na piramida - mediacentyr  
  cout<<"Visochina na piramidata: "<<h<<"\n";  
  B= a*Ax /2;//lice na osnowata  
  cout<<"Lice na osnowata: "<<B<<"\n";  
  S0=a*Ay/2;//ednata okolna strana  
  S1=a*Ay*3/2;//okolna powyrhnina  
  cout<<"Okolna povyrhnina: "<<S1<<"\n";  
  S=B+S1;//pylna powyrhnina  
 cout<<"Pylna povyrhnina: "<<S<<"\n";  
 V=(B*h)/3;//obem  
 cout<<"Obem: "<<V<<"\n";  
system("pause");  
return 0;  
}//kraj na programa piramida

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

Изпълними приложения за

Пирамида - основа, апотема, височина, повърхнина и обем

пирамида - повърхнина и обем

конус, цилиндър и пирамида

пресечена пирамида - основен и околен ръб

триъгълна пирамида – две апотеми