Периметър - по въведени ъгъл, страна, диагонал

Нека имаме произволна непрекъсната и затворена равнинна крива. Под периметър ще разбираме общата дължина на нейните граници. Друго сходно понятие за периметър е обиколка - често срещано във връзка с окръжност. При ръбесто тяло периметър е сумата от дължината на всички ръбове - основни и околни. Най-често срещаното означение за периметър е главна латинска буква P. В някои алгоритми се среща и названието полупериметър p = P / 2. Пример: полупериметър на триъгълник p= (a+b+c)/2 При правилен многоъгълник с брой страни n и дължина на страната a, неговия периметър е: P = n * a При окръжност с радиус r - обиколка / периметър често се означава с L = 2*pi*r, където pi = 3.141592...

периметър на елипса (с приближение) L = pi*( 3*(a+b) - sqrt((3*a+b)*(a+3*b)) ) формула на Раманунджан; a,b - голяма и малка полуос
периметър (обиколка) на окръжност L = 2*pi*r
периметър на куб P = 6*a

Начало на страницата

периметър на правилен многъгълник по въведена страна

Имаме въведени данни за брой страни и дължина на страна в правилен многъгълник. Търсим P - неговия периметър.

Алгоритъм
Въвеждат се:
n – брой страни в правилен многоъгълник;
b - дължина на страна в правилен многоъгълник
периметър на правилен многоъгълник P = n*b

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на правилен многъгълник по въведенастрана

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double const pi=3.141592;
double n,b;
#define perimetyr n*b //izchislqwa perimetyr

int main()
{ 
 cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat broj strani\n";
 cout<<"i dylvina na strana w prawilen mnogoygylnik i se izwevda\n";
 cout<<"negowiq perimetyr.\n"; 

 cout<<"Primer: n=6, b=5 Izhod P = 30\n";
 cout<<"Wywedete broj strani na tozi mnogoygylnik: ";cin>>n;
 cout<<"Wywedete dylviina na strana w mnogoygylnik: ";cin>>b;
 cout<<"perimetyr na mnogoygylnik: "<<perimetyr<<endl;

 system("pause");
 return 0; 
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на правилен многъгълник по въведена апотема

Имаме въведени данни за брой страни и дължина на страна в правилен многъгълник. Търсим P - неговия периметър.

Алгоритъм
pi – число на Лудолф 3.141592...
Въвеждат се:
n – брой страни в правилен многоъгълник
a – дължина на апотема в правилен многоъгълник
Изчисляват се:
b - дължина на страна в правилен многоъгълник: b = a*tan(pi/n)
периметър на правилен многоъгълник P = n*b

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на правилен многъгълник по въведена апотема

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double const pi=3.141592;
double n,a;
#define perimetyr n*a*tan(pi/n) //izchislqwa perimetyr 

int main()
{ cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat broj strani\n";
 cout<<"i dylvina na apotema w prawilen mnogoygylnik i se izwevda\n";
 cout<<"negowiq perimetyr.\n"; 
 cout<<"Primer: n=4, b=10 Izhod P=40\n";
 cout<<"Wywedete broj strani na tozi mnogoygylnik: ";cin>>n;
 cout<<"Wywedete dylviina na apotema w mnogoygylnik: ";cin>>a;
 cout<<"perimetyr na mnogoygylnik: "<<perimetyr<<endl;

 system("pause");
 return 0;
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на правоъгълен триъгълник – хипотенуза и радиус

Имаме правоъгълен триъгълник с въведени c - хипотенуза и r радиус на (вътрешно) вписана окръжност. Търсим P периметър на този триъгълник.

Алгоритъм:
Няколко зависимости за вписана окръжност в триъгълник:
радиус на (вътрешно) вписана окръжност r = 2*S/(a+b+c)
за правоъгълен триъгълник има и следната зависимост r = (a+b+c)/2
Въвеждат се: c - хипотенуза за този правоъгълен триъгълник
r радиус на (вътрешно) вписана окръжност.
Изчислява се:
периметър P = 2*(r+c)

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на периметър на правоъгълен триъгълник по въведени хипотенуза и радиус на вписана окръжност:

#include <iostream>
using namespace std;

double r,c;
#define perimetyr 2*(r+c) //izchislqwa perimetyr

int main()
{ 
 cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto za prawoygylen triygylnik \n";
 cout<<"sa wywedeni  hipotenuza c i radius na wpisana okryvnost.\n";
 cout<<"Programata da izwevda P perimetyr na tozi triygylnik.\n";
 cout<<"Primer: r=3, c=15 Izhod P = 36\n";
 cout<<"Wywedete radius na wpisana okryvnost: ";cin>>r;
 cout<<"Wywedete hipotenuza w triygylnik: ";cin>>c;
 cout<<"perimetyr na mnogoygylnik: "<<perimetyr<<endl;

 system("pause");
 return 0;
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на правоъгълник – лице и съотношение на страни

Имаме правоъгълник с въведени S – лице на правоъгълник и m,n съотношение между две негови прилежащи страни. Търсим периметър на този правоъгълник.

Алгоритъм
Ще означим страните на правоъгълника с a,b. Въвеждат се отношенията между страните в този правоъгълник m и n.
Така a = m*x, b=n*x
Изчислява се:
лице на правоъгълник S = a*b = m*n*x*x x= sqrt (S/(m*n)
периметър на правоъгълник P = 2*(a+b) = 2 * (m+n)* sqrt (S/(m*n)

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на правоъгълник по въведени лице и съотношение на страни в същия правоъгълник:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double S,m,n;
#define perimetyr 2*(m+n)*sqrt(S/(m*n)) //izchislqwa perimetyr

int main()
{ 
 cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto za prawoygylnik \n";
 cout<<"sa wywedeni S lice i m,n - syotnosheniq mevdu stranite mu.\n";
 cout<<"Programata da izwevda P perimetyr na tozi prawoygylnik.\n";
 cout<<"Primer: S=80, m=4,n=5  Izhod P = 36\n";
 cout<<"Wywedete lice na prawoygylnik: ";cin>>S;
 cout<<"Wywedete m: ";cin>>m;
 cout<<"Wywedete n: ";cin>>n;

 cout<<"perimetyr na prawoygylnik: "<<perimetyr<<endl;
 system("pause");
 return 0;
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на успоредник – диагонал и остър ъгъл

Имаме успоредник, на който по-късия диагонал d е равен на една от страните му b. Въведен е А - острия ъгъл срещу този диагонал както и дължината на същия диагонал d. Търсим периметър този успoредник.

Алгоритъм:
Въвеждат се: А - острия ъгъл срещу този диагонал;
d - дължината на диагонал / страна
Разглеждаме равнобедрен триъгълник с бедра страна b и диагонал d. Острият ъгъл лежи срещу диагонала.
половината от дължината на основата в този триъгълник е m = d*cos(A)
периметър на успоредник P = 2*(d +2*d*cos(A);

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на успоредник по въведени диагонал и срещулежащ остър ъгъл в същия успоредник:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double pi=3.141592;
double yg,d;
#define perimetyr 2*d*(1 + 2*cos(yg*pi/180)) //izchislqwa perimetyr

int main()
{ 
 cout<<"Imame usprednik, za kojto  sa wywedeni d diagonal = strana b i ostyr \n";
 cout<<"ygyl yg. Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat b,yg. \n";
 cout<<"Programata da izwevda P perimetyr na tozi usporednik.\n";
 cout<<"Primer: d=10, yg=60  Izhod P = 40\n";
 cout<<"Wywedete diagonal d: ";cin>>d;
 cout<<"Wywedete ygyl: ";cin>>yg;
 cout<<"perimetyr na usporednik: "<<perimetyr<<endl;
 system("pause");
 return 0;
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на равнобедрен трапец – бедро и средна основа

Имаме равнобедрен трапец, за който са въведени b – бедро и p – средна основа на този трапец. Търсим P – периметър на този равнобедрен трапец.

Алгоритъм:
Въвеждат се: b – бедро;
p – средна основа
Изчислява се:
P - периметър на трапец е сума от дължините на двете основи и двете бедра.
По условие е дадена средната основа, която е полусума от двете основи.
Трапецът е равнобедрен.
Така формулата за периметър на равнобедрен трапец P = 2*( b + p)

Следващата примерна програма дава решена задача за изчисляване периметър на равнобедрен трапец по въведени бедро и средна основа:

#include <iostream>
using namespace std;

double p,b;
#define perimetyr 2*(p + b) //izchislqwa perimetyr

int main()
{ 
 cout<<"Imame rawnobedren trapec, za kojto sa wywedeni p sredna osnowa i\n";
 cout<<"b - bedro. Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat p i b. \n";
 cout<<"Programata da izwevda P perimetyr na tozi trapec.\n";

 cout<<"Primer: p=30, b=20  Izhod P = 100\n";
 cout<<"Wywedete sredna osnowa p: ";cin>>p;
 cout<<"Wywedete bedro: ";cin>>b;
 cout<<" perimetyr na trapec: "<<perimetyr<<endl;
 system("pause");
 return 0;
} // kraj programa perimetyr

Начало на страницата

периметър на вписан квадрат в сектор от окръжност

Имаме окръжност с център O и радиус R. Върху нейният диаметър е построен най-големия възможен вписан квадрат с върхове ABCD, където върхове A и B лежат върху диаметъра, а C и D върху окръжността. Върху квадрат ABCD е вписан най-големия възможен друг квадрат EFGH, където върхове му E и F лежат върху CD – страна на първия квадрат, а върхове H и G лежат върху окръжността.
Търсим периметър на квадрат EFGH.

Алгоритъм
За да се построят възможно най-големите квадрати, то частта от симетралата на двойките им успоредни страни е и радис на описаната окръжност. Така средата на страна AB (големия квадрат) е и център на описаната окръжност. Точка P среда на CD и едновременно среда на EF, точка Q среда на страна GH в малкия квадрат.
Ще отбележим с a – дължина на страната на квадрат ABCD, а с b - дължина на страната на квадрат EFGH
Разглеждаме триъгълник OAD – правоъгълен (общ ъгъл с големия квадрат), с хипотенуза OD = R.
Страна на големия квадрат AD=2*AO.
От уравнението (Питагор) OD*OD = OP*OP + PD*PD
Заместваме R*R = a*a +a*a/4
Страна на големия квадрат a = 2*R/sqrt(5)

Разглеждаме триъгълник OQH – правоъгълен (общ ъгъл с малкия квадрат), с хипотенуза OH = R.
Страната HQ е половината от страната на малкия квадрат – HQ = b/2.
Страната OQ = OP + PQ = a+b – сума от страните на малкия и големия квадрат.
От квадратното уравнение (Питагор) OH*OH = OQ*OQ + HQ*HQ
Заместваме R*R = (a+b)*(a+b) + b*b/4

b*b + 4*(a*a +2*a*b +b*b) - 4*R*R = 0
5*b*b +8*a*b + 4*(a*a - R*R) = 0
A*x*x +B*x +C=0
A = 5; B = 8*a; C = 4*(a*a - R*R)
Вземаме само положителната стойност на корена

b = ( -B + sqrt(B*B – 4*A*C))/ (2*A)
периметър по-малкия квадрат P = 4*b

Следващата примерна програма дава решена задача за периметър на вписан квадрат в сектор от окръжност:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double perimetyr (double R)
{double P,a,b,A,B,C;
a = 2*R/sqrt(5); //strana na golemiq kwadrat
A = 5; 
B = 8*a; 
C = 4*(a*a - R*R);
b = ( -B + sqrt(B*B - 4*A*C))/ (2*A);//strana na malkiq kwadrat
//cout<< ( -B - sqrt(B*B - 4*A*C))/ (2*A)<<endl;
P = 4*b;//perimetyr na kwadrat
return P;
}// perimetyr na malkiq kwadrat

int main ()
{ double R,P;
cout<<"Imame okryvnost s radius R. Wyrhu nein diametyr e postroen\n";
cout<<"naj-golemiq wyzmoven opisan kwadrat ABCD, a wyrhu  nego\n";
cout<<"e postroen wtori wyzmovno naj-golqm opisan kwadrat EFGH.\n";
cout<<"Tyrsim lice S na po-malkiq kwadrat.\n";
cout<<"Primer 10 Izhod: 4.16857 \n";

cout<<"Wywedete radius: ";cin>>R;
P = perimetyr (R);
cout<<"Perimetyr na po-malkiq kwadrat: "<<P<<endl;
system("pause");
return 0;
}// kraj programa perimetyr

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

Изпълними приложения за

Периметър - по въведени ъгъл, страна, диагонал

периметър на правилен многъгълник по въведена страна

периметър на правилен многъгълник по въведена апотема

периметър на правоъгълен триъгълник – хипотенуза и радиус

периметър на правоъгълник – лице и съотношение на страни

периметър на успоредник – диагонал и остър ъгъл

периметър на равнобедрен трапец – бедро и средна основа

периметър на вписан квадрат в сектор от окръжност