Дъга - изчисляване на хорда, радиус и ъгъл на дъга от окръжност
дължина на дъга - допирателна от точка към окръжност
октантна дъга - правоъгълник със заоблен връх, заменен с дъга
ъгъл на дъга между две допирателни
централен ъгъл на дъга и отстояние на хорда
Ако се свържат две точки A,B лежащи на една и съща окръжност, то най-късото разстояние между тях е дължината на хордата AB. Ако разстоянието между тези точки се измерва по окръжността получаваме дължината на съответната дъга. Една хорда разделя окръжността на две дъги не непременно равни по дължина и ъгъл. Само диаметърът на една окръжност дели същата окръжност на две равни дъги. Най-дългата хорда в една окръжност е нейният диаметър. При изчисляване отделните параметри на дъга ще ползваме следните определения и зависимости: Полудъга - ако хордата на дъгата е равна на диаметъра на окръжността. Такава дъга има ъгъл pi радиана. октантна дъга - ако лицето на сектора формиран от такава дъга е 1/4 от лицето на кръга. октантна дъга има ъгъл pi/2 радиана. Сегмент е част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата й хорда. Сектор е част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса свързващи центъра на кръга с двата края на дъгата. Ако диаметърът на дадена дъга е перпендикулярен на принадлежащата й хорда, то диаметърът е симетрала за тази хорда и минава също през средата на определена от хордата дъга.
Централен ъгъл - ако върха на ъгъл лежи на центъра на окръжността. Ъгълът на принадлежащата му дъга е равен на централния ъгъл.Вписан ъгъл - ако върха на ъгъл лежи на окръжността, а рамената му пресичат окръжността. Ъгълът на принадлежащата му дъга е равен на удвоения вписан ъгъл.
Две дъги от една и съща окръжност са равни, ако са равни съответните им централни или вписани ъгли. Само диаметърът на една окръжност дели същата окръжност на две равни дъги.
Права, която има две общи точки с окръжност се нарича секуща.
Отношения между ъгъл на дъга и ъгъл между отсечки в окръжност:
Две прави пресичат окръжност, отсичайки от нея две дъги, съответно с ъгли yg1, yg2. Пресечната точка на правите не принадлежи на окръжността - правите не са успоредни. yg = abs (yg1-yg2) / 2 е ъгълът между двете прави.
Две прави пресичат окръжност, отсичайки от нея две дъги, съответно с ъгли yg1, yg2. Пресечната точка на правите лежи в окръжността. yg=(yg1+yg2) / 2 е ъгълът между двете прави.
Две прави пресичат окръжност, отсичайки от нея дъга с ъгъл yg1 - вписан ъгъл. Пресечната точка на правите лежи на окръжността - разглеждаме само дъгата между правите. yg=yg1 / 2 е ъгълът между двете прави.
В точката M, лежаща на окръжност минава допирателна.
Втора права минава точка М и разделя окръжността на две дъги yg1, yg2. Ако е въведен ъгъла на едната дъга yg1.
yg2=(2*pi-yg1) / 2 е ъгълът между правите, включващ втората дъга.
дължина на дъга - допирателна от точка към окръжност
Дадена е окръжност с радиус R и координати на центъра O(x,y). От точка M с координати M(x,y), лежаща извън окръжността се спуска допирателна до окръжността. Точката на тангиране е C. Отсечката OM пресича окръжността в точка B. Търсим ъгъл на дъга BC.
АлгоритъмТриъгълникът OCM е правоъгълен, т.к. MC е допирателна към окръжността. ОC е радиуса на окръжността. OM намираме то теоремата на Питагор - разстояние между две точки с въведени координати: OM = sqrt ( (Ox -Mx)*(Ox-Mx) + (Oy-My)*(Oy-My) ) Ъгъл MOC в правоъгълния триъгълник OCM изчисляваме като acos (R/OM)
Следващата примерна програма дава решена задача за дължина на дъга:
октантна дъга - правоъгълник със заоблен връх, заменен с дъга
Имате правоъгълен контур със зададени прилежащи страни. всеки от ръбовете на контура е заоблен, т.е. всички външни ъгли са заместени с дъги, при това с еднакви радиуси. Да се състави програма, която по въведени страни и радиус - извежда периметър и лице на новообразувания контур. Пример: при стени 4,5; радиус 1; Изход: P = 13.14; S = 19.14
Алгоритъм:октантна дъга е дъга, чийто централен ъгъл е с рамене съвпадащи или успоредни на координатните оси. Тук разглеждаме квадрат със страна радиуса на закръгление, от който остава само кръгов сектор, т.е. краищата му са дъга с централен ъгъл 90 градуса.
Следващата примерна програма дава решена задача за октантна дъга:
ъгъл на дъга между две допирателни
Имаме окръжност и две точки от нея A,B. През точките са прекарани допирателни, пресичащи се в точка Q, под ъгъл YG. Търсим централния ъгъл на дъга AB. Ъгълът на пресичане е даден в градуси.
Алгоритъм:Означаваме с O центъра на окръжността.
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника OAQ, OBQ.
Правоъгълни триъгълници, т.к. QA, QB са допирателни към окръжността.
OA=OB=R - радиус на окръжността. OQ обща страна на двата триъгълника.
ъгъл AOQ=BOQ=90 - YG/2, ъгълът на дъга AB = 2* AOQ=180-YG
Следващата примерна програма дава решена задача за ъгъл на дъга между две допирателни:
централен ъгъл на дъга и отстояние на хорда
Дадена е дъга AB от окръжност. Въведени са данни за централния ъгъл на дъга - YG и отстоянието на хордата й до центъра на окръжността. Ъгълът на дъгата е въведен в градуси. Търсим диаметъра на тази окръжност.
Алгоритъм:
Имаме равнобедрен триъгълник AOB с бедра OA, OB - радиуса на окръжността, ъгъл срещу основата AOB - половината от централния ъгъл на дъгата и височина към основата h - отстоянието на хордата до центъра на окръжността. Върхът O срещу основата съвпада с центъра на същата окръжност. Височината h към основата равнобедрен триъгълник е едновременно ъглополовяща и медиана. Тази височина разделя триъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълници, като хипотенузата в тях е бедрото на основния триъгълник. Знаем ъгъл при върха, и единия катет. Радиусът на окръжността се явява хипотенуза на този триъгълник r=h/cos(0.5*YG). Изчисленият диаметър на тази окръжност е: D=2*r.
Следващата примерна програма дава решена задача за централен ъгъл на дъга и отстояние на хорда:Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.