Изчертаване на криви от втори и по-висок ред
При изчертаване на всички криви тук се ползват техните уравнения в полярни координати. Процедурата започва с определяне координатите на центъра или началната точка в зависимост от типа. За всички геометрични построения при изчертаване на криви се предполага използването на определена среда за интерпретиране на техните координати. Изборът на начин за изчертаване е в зависимост от крайната цел. Най-често се ползва: 1) Линия; 2) Дъга; 3) Сплайнова апроксимация - допълнителни възможности за апроксимиране. Независимо от избрания начин за апроксимиране за всяка крива е необходимо да се въвеждат следните параметри:
А) Въвеждане на координати - разглеждат се само случаи на права разположена в една равнина. Трябва да се въведат координати по абсцисната и ординатната ос.Б) Въвеждане размер на ъгъл - избраната крива се чертае в интервала на въведените стойности за начален и краен ъгъл. Ъглите се могат да се въвеждат по различни начини: 1) Градуси, минути, секунди; 2) Гради; 3) Радиани. Независимо от начина на въвеждане изчисленията най-често се се извършват в радиани.
В) Апроксимиране – приближение. Въвеждането на желаната точност се извършва чрез указване на желания брой стъпки. Въведеното естествено число указва чрез колко елемента ще се извърши апроксимацията на кривата в избрания диапазон. Ако е избран начин за апроксимация чрез дъги при достигане на инфлексна точка е възможно дъгата да се замени с линия, ако въведеното число за брой стъпки е малко за указания интервал (начален, краен ъгъл). Сигнал за грешка може да се получи, ако след апроксимирането се получава линейно уравнение, т.е. необходими са дъги с безкрайно голям радиус.
I. Изчертаване на спирали
Спиралите намират приложение при проектиране на гърбични механизми (за управление на металорежещи машини). За всички спирали трябва да се въведат: а) координати на центъра; б) начален и краен ъгъл; в) стъпка за нарастване на радиуса.
I.1. Архимедова спирала Описва траекторията на точка участвуваща едновременно в две равномерни движения, едното от които се извършва по права, а другото по окръжност. С нарастване на ъгъла нараства и радиуса на спиралата. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=(RN+RST*ANG)*COS(ANG):
Y=(RN+RST*ANG)*SIN(ANG)
I.2. Логаритмична спирала При тази спирала е характерно, че всяка права от центъра на спиралата я пресича под един и същи ъгъл. Началото й е нейна асиптотична точка. За тази спирала трябва да се въведе положително число за основа на логаритъма. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=COS(ANG)*(RN+PARAM^ANG):
Y=(RN+PARAM^ANG)*SIN(ANG)
I.3. Хиперболична спирала Хиперболичната спирала е геометричното място на точка, движеща се по равномерно въртящ се около полюса лъч, така че полярният й радиус да намалява при нарастване на полярния ъгъл. Така, за големи стойности на ъгъла кривата се "навива" около асиптотичната си точка - тази крива е инверсна спрямо архимедовата спирала. За тази спирала трябва да се въведе числена стойност за разстояние на асиптотата до ос Х. Поради вида на уравнението за хиперболичната спирала не се изчислява стойността за точка с ъгъл 0 градуса. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=(RN+R2/ANG)*COS(ANG):
Y=(RN+R2/ANG)*SIN(ANG)
II. Изчертаване на циклоидални криви
Циклоидалните криви намират приложение при проектиране на зъбни предавки с циклоидален профил на зъбите. За всички циклоиди трябва да се въведат: а) координати на центъра на неподвижната окръжност; б) начален и краен ъгъл; в) радиус на подвижната и неподвижната окръжност, както и координати на центъра.
II.1. Циклоида Описва траекторията на точка от окръжност с указан радиус търкаляща се без плъзгане по права. Получава се незатворена крива повтаряща се през 360 градуса. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=RP*(ANG-SIN(ANG)):
Y=RP*(1-COS(ANG))
II.2. Епициклоида Описва траекторията на точка от окръжност с указан радиус търкаляща се външно без плъзгане по окръжност с указан радиус. За тази циклоида допълнително трябва да се въведе стойността на радиуса на неподвижната окръжност. Когато съотношението между двата радиуса е естествено число се получава изпъкнала затворена крива с инфлексни точки насочени към вътрешността на кривата. Броят на тези върхове е равен на отношението между двата радиуса. В общия случай вида и размера на епициклоидата зависи от съотношението между стойностите на двата радиуса. Като частни случаи се получават: а) кардоида при съотношение 1/1 на радиусите; б) нефроида при съотношение 1/2 на радиусите. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
M=RP/RN:
X=(RN+RP)*COS(M*ANG)-RP*COS(ANG+M*ANG):
Y=(RN+RP)*SIN(M*ANG)-RP*SIN(ANG+M*ANG)
II.3. Хипоциклоида (астроида и крива на Щайнер) Описва траекторията на точка от окръжност с указан радиус търкаляща се вътрешно без плъзгане по друга окръжност с указан радиус. За тази циклоида допълнително трябва да се въведе стойността на радиуса на неподвижната окръжност. Когато съотношението между двата радиуса е естествено число се получава вдлъбната затворена крива с инфлексни точки насочени противоположно на вътрешността на кривата. Броят на тези върхове е равен на отношението между двата радиуса. В общия случай вида и размера на хипоциклоидата зависи от съотношението между стойностите на двата радиуса. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
M=RP/RN:
X=(RN-RP)*COS(M*ANG)+RP*COS(ANG-M*ANG):
Y=(RN-RP)*SIN(M*ANG)-RP*SIN(ANG-M*ANG)
III. Изчертаване на хиперболични криви
Разгледани са елипса и два вида хипербола. Хиперболата е геометрично място на всички точки в равнината, разликата на разстоянията от които до две фиксирани точки в нея е равна на дадена константа. Двете фиксирани точки се наричат фокуси. Хиперболата е крива от втора степен и има две безкрайно отдалечени точки. За хиперболите трябва да се въведат допълнителни стойности за размери по реалната ос 2а, както и размер по имагинерната ос 2bi.
III.1. Елипса Описва геометричното място на точка, сбора на разстоянието, на която до други две точки е постоянна величина. Елипсата е крива от втора степен и няма безкрайно безкрайно отдалечена точка. Тя се затваря в изходната си точка за интервал от 360 градуса. Въвеждат се размери на: на голямата ос 2а; размер на малката ос 2b. Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=RG*COS(ANG):
Y=RM*SIN(ANG):
III.2. Хипербола тип 1 Построяването се извършва на основа следните уравнения:
T=EXP(ANG):
T1=EXP(-ANG):
X=.5*RR*(T+T1):
Y=.5*RI*(T-T1)
III.3. Хипербола тип 2 Построяването се извършва на основа следните уравнения:
T=EXP(ANG):
T1=EXP(-ANG):
X=-.5*RR*(T+T1):
Y=.5*RI*(T-T1)
IV. Изчертаване на параболични криви
Разгледани са три вида параболи: тип 1; тип 2; тип 3. Параболата е крива от втора степен. Има само една безкрайна отдалечена точка. Параболата е геометрично място на точки от равнината, които се намират на равни разстояния от една фиксирана точка и от фиксирана права в същата равнина.
IV.1. Парабола - тип 1 Построяването се извършва на основа следните уравнения:
T=TAN(ANG):
X=2*RG/(T*T):
Y=2*RG/T
IV.2. Парабола - тип 2 Построяването се извършва на основа следните уравнения:
X=2*RG*TAN(ANG):Y=2*RG*(TAN(ANG))^2
IV.3. Парабола - тип 3 построяване - чрез уравнения:
X=1/(1+RG)*(COS(ANG))^2
Y=TAN(ANG)/((1+RG)*(COS(ANG))^2)
V. Изчертаване на други криви
V.1. Цисоида Униурзална (рационална) крива. Има две безкрайно отдалечени точки. Повтаря се в интервала [-90 .. 90] в градуси. Нека са дадени окръжност лежаща на абсцисата и две прави тангиращи към окръжността в пресечните й точки с абсцисата. Цисоидата е геометрично място на точки, за които е удолетворено равенството на отсечките от лявата точка на тангиране до вертикална права и отсечката по продължението на тази права от пресечната точка на окръжността до дясната тангираща права. Параметърът е радиуса на окръжността. построяване - чрез уравнения:
T=2*RG*SIN(ANG)^2/COS(ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.2. Конхоида тип 1 Получава се от дадена права, като радиус векторът на всяка точка от тази права с дадено начало се удължава или скъсява в зависимост от въведената дължина на отсечка с фиксирана дължина. Разстоянието от въведените координата за върха на правата до нейната инфлексна точка (при ъгъл 0 градуса) е равно на сумата от въведените стойности за първи и втори параметър на правата. Размерът на втория параметър определя дължината на отсечката. Построяването се извършва по уравненията:
X=RD+RG*COS(ANG)
Y=RD*TAN(ANG)+RG*SIN(ANG)
V.3. Конхоида тип 2 Разстоянието от въведените координата за върха на кривата до нейната инфлексна точка (при ъгъл 0 градуса) е равно на въведената стойност за първия параметър. Размерът на втория параметър определя дължината на отсечката. Построяването се извършва по уравненията:
X=RD-RG*COS(ANG):
Y=RD*TAN(ANG)-RG*SIN(ANG)
V.4. Криви на Гвидо Гранди тип 1 Този тип криви е известен също и като рози на Гвидо Гранде. Параметърът определя дължината на листата, а техния брой се въвежда допълнително. При въвеждане на четно число броят на изчертаните листи се удвоява. построяване - чрез уравнения:
T=RG*SIN(RD*ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.5. Криви на Гвидо Гранди тип 2 При въвеждане на четно число броят на изчертаните листи се удвоява. построяване - чрез уравнения:
T=RG*COS(RD*ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.6. Строфоида тип 1 Униурзална (рационална) крива. Има двойна инфлексна точка и две безкрайно отдалечени точки. Параметърът определя дължината на примката и разстоянието на двойната инфлексна точка до асимптотата. построяване - чрез уравнения:
T=RG*(1+SIN(ANG))/COS(ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.7. Строфоида тип 2 построяване - чрез уравнения:
T=RG*(1-SIN(ANG))/COS(ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.8. Охлюв на Паскал Това е конхоида, като равнинната крива е окръжност. Затворена крива повтаряща се през 360 градуса. Първият параметър е диаметъра на окръжността. Вторият параметър е размера на отсечката. построяване - чрез уравнения:
T=RD+RG*COS(ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.9. Построяване на N-ъгълник Построява се равностранен многоъгълник, апроксимацията е винаги линейна. Използването на дъги вместо страни води до допълнителни изчисления за всяка от дъгите. Параметърът определя радиуса на описаната окръжност, а броят на страните се въвежда допълнително. Построяването на многоъгълника се извършва по уравненията:
X=R*COS(PI#*(ANG+1)/BR)
Y=R*SIN(PI#*(ANG+1)/BR)
V.10. Овал на Касини тип 1 Овалът на Касини представлява геометрично място на точки, за които произведението от разстоянията до две точки е винаги равно на квадрата на дадена константа с. Частен случай е Лемниската на Бернули получава се при равни стойности на двата параметъра. С намаляване на съотношението между стойностите на двата параметъра кривата придобива вид на овал. И в двата вида овала имагинерната част на овала не се чертае. построяване - чрез уравнения:
T=(RD^2)*COS(2*ANG)
IVA1=T*T+(RG^4)-(RD^4)
T1=(T+SQR(IVA1)):
X=SQR(T1)*COS(ANG)
Y=SQR(T1)*SIN(ANG)
V.11. Овал на Касини тип 2 Това е частен случай Лемниската на Бернули. построяване - чрез уравнения:
T=(RD^2)*COS(2*ANG)
IVA1=T*T+(RG^4)-(RD^4)
T1=(T-SQR(IVA1))
X=SQR(T1)*COS(ANG)
Y=SQR(T1)*SIN(ANG)
V.12. Декартов лист Това е униурзална (рационална) крива. Параметърът определя дължината на листа. Въведената стойност на параметъра предопределя дължината на фигурата от върха до инфлексната й точка. построяване - чрез уравнения:
T=TAN(ANG)
T1=3*T/(1+T^3)
X=RG*T1
Y=RG*T*T1:
V.13. Овал Вид равнинна крива с яйцевидна форма, чийто параметър определя максималните й размери. построяване - чрез уравнения:
RG=ABS(RG)
T=RG*COS(ANG)^3
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.14. Детелина Изчертава се фигура подобна на четирилистна детелина. Параметърът определя дължината на листа. Въведената стойност на параметъра предопределя дължината на фигурата от върха до инфлексната й точка. построяване - чрез уравнения:
T=RG*SIN(2*ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.15. Кръгова еволвента Описва траекторията на точка от права търкаляща се без плъзгане по окръжност с указан радиус. Еволвентните криви намират приложение при проектиране на зъбни предавки с еволвентен профил на зъбите. Параметърът е радиуса на окръжността. Кривата не е затворена и се разширява с увеличаване на ъгъла. построяване - чрез уравнения:
X=RG*(COS(ANG)+ANG*SIN(ANG))
Y=RG*(SIN(ANG)-A*COS(ANG))
V.16. Математически кръст Изчертава се фигура приличаща на кръст. Има 8 безкрайно отдалечени точки. построяване - чрез уравнения:
T=2*RG/SIN(2*ANG)
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.17. Синусоида Въведената стойност за първия параметър е амплитудата, а за втория периода на синусоидата. построяване - чрез уравнения:
X=RD*ANG/(2*PI#)
Y=RG*SIN(ANG)
V.18. Трисектриса Параметърът определя дължината на листа. построяване - чрез уравнения:
T=RG*(4*COS(ANG)-1/COS(ANG))
X=T*COS(ANG)
Y=T*SIN(ANG)
V.19. Криви на Лисажу Кривите на Лисажу се използуват като метод при измерване честототата на синусоидално напрежение. В този случай се дава възможност за илюстрация на кривите при по-голямо отношение между честотите, както и възможност за изчертаване на самата крива. Въведената стойност за първия параметър е амплитудата, а за втория съотношенията на честотите фазовата разлика между измерваното и еталонното напрежение. построяване - чрез уравнения:
X=RG*SIN(ANG+FAZ)
Y=RG*COS(ANG*RD)
V.20. Версиера на Анйези Вид униурзална (рационална) крива. Има две безкрайно отдалечени точки и една инфлексна точка. Параметърът определя ординатата на инфлексната точка спрямо нейната асиптота. построяване - чрез уравнения:
X=ANG
Y=(RG^3)/((RG^2)+X^2)
V.21. Показателна права Като първи параметър на функцията се въвежда основата на показателната функция. Ако това число е >0, то функцията е монотонно растяща, ако числото е <0 функцията е монотонно намаляща. Очевидно е, че ако числото е 0 уравнението на показателната функция се изражда в уравнение на права. Ако за първи параметър се въведе 2.718281828459, а за втори параметър 1 се получава описание на експоненциална функция. Като втори параметър се въвежда стойност на коефициента пред (повдигнатия на степен) първи параметър. Числото трябва да бъде различно от нула. Забележка: При изчисляване на функцията е възможно отделни нейни сегменти да бъдат прави. построяване - чрез уравнения:
X=ANG
Y=RD*(RG^X)
Съвременните CAD системи ВЕЧЕ предоставят изградени библиотеки с функции включващи:
построяване на вътрешна тангента между две вече изчислени параметри на окръжности; построяване на външна тангента между две вече изчислени параметри на окръжности. Построяване на окръжност с указан радиус тангираща: вътрешно към вече изчертана права и окръжност (дъга); тангираща външно към вече изчислени параметри на права и окръжност (дъга); тангираща към вече изчертана права и минаваща през указана точка; тангираща външно към изчертани окръжности (дъги); тангираща смесено към изчертани окръжности (дъги); тангираща вътрешно към изчертани окръжности (дъги; тангираща вътрешно към изчертана окръжности (дъгa) и минаваща през указана точка; и т.н. отнасящи се за характерни взаимно положения на дъги/окръжности, прави и точки.
За изчертаването на параметрични примитиви (изображения) от стандартизираните набори за Единната система за конструкторска документация е необходимо предварително проектиране и програмиране на ред приложения.
Файлът EPSI.rar съдържа презентация на библиотекитеПриложеният файл съдържа презентация на вече изчертани изображения - библиотеки за CAD системи, като:
1. Генерирани изображения на изброените прави.
2. Статични избражения за: резистори, съпротивления, кондензатори, индуктивности, транзитори, диоди/тиристори, оптоелектронни прибори, ел. машини, контакти, радиостанции, телефони и др.
3. Условни обозначения за: грапавост на повърхнините, отклонения от формата и разположението на повърхнините; на заваръчен шев и др.
4. Параметрично изчертаване на нитове, шплентове, профили, клинове, щифтове - цилиндрични, конусни, цели и сцепени; шпонки призматични и сегментни; уплътнения; търкалящи лагери; оси и валове; болтове и винтове; гайки и шайби.
