Превръщане на ъгъл - градуси в радиан

алгоритъм за превръщане на ъгъл - градуси в радиан
периметър по въведени две страни и ъгъл
радиус на описана окръжност по въведени две страни и ъгъл
ъгли в триъгълник
отношение на ъгли в триъгълник
хорда и ъгъл на дъга

Нека имаме два лъча, които се срещат в обща точка, наречена връх. Като количествена мярка един ъгъл дава разликата в наклона на тези два лъча. Като мерна единица за размер на ъгъл често се ползва градус или радиан. Ако раменете на един ъгъл са взаимно перпендикулярни ще казваме, че това е прав ъгъл - 90 градуса. Така, най-голямата дъга в окръжността има 360 градуса. Един радиан е равнинният ъгъл между два радиуса, които отрязват от окръжност дъга с дължина равна на радиуса на същата окръжност. Означението е rad и често се изпуска, т.к. радиан е безразмерна величина. За изразяване на съотношението ъгъл - градуси в радиан се ползва ирационалното число на Лудолф pi = 3.1415925….. Използва се факта, че най-големият ъгъл в окръжност е 360 градуса или 2pi радиана. Зависимостта за превръщане на ъгъл от градуси в радиан се изразява чрез: ygyl * pi / 180, където ygyl е ъгъл в градуси. Зависимостта за превръщане на ъгъл от радиан в градуси се изразява чрез: ygyl * 180 / pi, където ygyl е ъгъл в радиан. Един радиан е малко над 57 градуса. Често използвана мярка за ъгъл е десетичен градус - реално число с цяла част градуси, десетичен остатък - минути. секунди. Пример: ъгъл 38.5 десетични градуса е 38 градуса и 30 минути.

Често срещани означения за ъгъл:
остър ъгъл - (мярка < 90°);
прав ъгъл (мярка = 90°) - двете рамена на ъгъла са взаимно перпендикулярни. В триъгълник хипотенузата е срещулежащата страна срещу прав ъгъл;
тъп ъгъл ( 90° < мярка < 180°). В триъгълник това е най-големият ъгъл срещулежащ срещу най-голямата страна в същия триъгълник;
изправен ъгъл (мярка 180°). Двете рамена на този вид ъгъл лежат на една права;
съседни ъгли - образуват се при пресичане на две прави от една равнина. Сумата на два съседни ъгъла има мярка 180°;
срещулежащ ъгъл - ъгъл срещу страна в триъгълник или диагонал в многоъгълник;
прилежащ ъгъл - най-често в триъгълник. Сумата от двата прилежащи ъгъла към страна от триъгълник е < 180°;
външен ъгъл (в триъгълник) - прилежащия ъгъл към посочения вътрешен ъгъл в същия триъгълник; насочен ъгъл - ъгъл, на който едното рамо е избрано за първо, а другото за второ. В този случай са възможни отрицателни стойности за ъгъл.
В полярна координатна система разстояние между две точки в равнината се дава с радиус вектор и полярен ъгъл, отчитащ наклона на радиус вектора спрямо абсицисната ос.
При изчисляване на ъгъл в триъгълник често се налага ползване на синусова или косинусова теорема:
синусова теорема
   a / sinA = b / sin/B = c / sinC = 2 * R
   R = a*b*c / (4 * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)))
   hc = b*sinA = a*sinB

   S = 0.5*a*b*sin(C) = 0.5*a*c*sin(B) = 0.5*b*c*sin(A)
   S = R*R*sin(A)*sin(B)*sin(C) = a*b*c / (4*R)

косинусова теорема
   a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA
   b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cosB
   c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC

Начало на страницата

алгоритъм за превръщане на ъгъл - градуси в радиан

Често срещан случай е въвеждане данни за ъгъл с мярка градуси, минути, секунди като се ползват цели числа. В езиците за програмиране стойност на ъгъл се въвежда в радиани, като се ползват рационални числа.

Следващата примерна програма демонстрира алгоритъм за превръщане на ъгъл - градуси в радиан:

#include <iostream>
using namespace std;

#define pi 3.1415925 //chislo na Ludolf
#define ygyl  pi / 180 // ygyl ot gradusi w radian 

int main() 
{ double yg,rad;
  cout<<"W ezicite za programirane kato mqrka za ygyl se polzwa radian.\n";
  cout<<"Naj-golqmata dyga w okryvnostta ima ygyl 360 [gradusa] ili 2*pi [rad].\n";
  cout<<"Imate estestweno chislo N ot interwala [0..360], \n";
  cout<<"predstawlqwasho ygyl na dyga w okryvnost.\n";
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevda estestweno\n"; 
  cout<<"chislo N ot interwala [1..180] i se izwevada\n";
  cout<<"ygyla w radiani.\n";
  cout<<"Primer: 180 Izhod: 3.14159\n";
  cout<<"Wywedete ygyl na dygata w gradusi [0..360]: ";cin>>yg;
  rad=ygyl * yg;
  cout<<" ygyl na dygata w radiani: "<<rad<<endl;

system("pause");
return 0;
}//kraj na programa ygyl gradusi radiani

Начало на страницата

периметър по въведени две страни и ъгъл

Да разгледаме следната задача: Дадени са дължини на две от страните в триъгълник a,b, както и заключения между тях ъгъл C. Търсим периметъра P на този триъгълник.

Алгоритъм:    Ще ползваме косинусова теорема - тази теорема е валидна за всички видове Евклидови триъгълници.
  c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cos(C), където C е ъгъл заключен между страните a, b.
  Стойността на ъгъла се въвежда в градуси, но се предава в радиани като параметър на функцията косинус.
  Следващата примерна програма дава решена задача за периметър по въведени две страни и ъгъл чрез косинусова теорема:

#include <iostream>
#include <cmath>
 using namespace std;
 double const pi=3.141592;
 #define ygyl pi/180 // ygyl ot gradusi w radian 

int main() 
{ double a,b,c, Cyg, P;
  cout<<"Imate wywedeni dylvini na dwe ot stranite w triygylnik a,b, \n";
  cout<<"kakto i zakliucheniq mevdi tqh ygyl C. Tyrsim perimetyra P \n";
  cout<<"na tozi triygylnik. Ygylyt C e w gradusi [1..179], a stranite realni\n";
  cout<<"chisla. Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat a,b,C i se izwevda P.\n";
  cout<<"Primer: a=3, b=4 C=90 Izhod P=12\n";

  cout<<"Wywedete strana a: ";cin>>a;
  cout<<"Wywedete strana b: ";cin>>b;
  cout<<"Wywedete ygyl C: ";cin>>Cyg;
  Cyg *=  ygyl ;//ygyl ot gradusi w radian
  c= sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*cos(Cyg));//cosinusowa teorema
  P=a+b+c;
  cout<<"Perimetyr: "<<P<<endl;
  system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa ygyl ot gradusi w radian

Начало на страницата

радиус на описана окръжност по въведени две страни и ъгъл

Да разгледаме следната задача: Дадени са дължини на две от страните в триъгълник a,b, както и заключения между тях ъгъл. Търсим радиуса R на описаната около този триъгълник окръжност.

Алгоритъм:    Ще ползваме косинусова теорема за намиране на третата страна от триъгълника: c= sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*cos(Cyg));
   Знаем срещулежащия ъгъл C.
   Ще ползваме синусова теорема: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R
   където R е радиуса на описаната около този триъгълник окръжност.
   Стойността на ъгъла се въвежда в градуси, но се предава в радиани като параметър на функцията синус.
   Следващата примерна програма дава решена задача за радиус на описана окръжност чрез синусова теорема:

#include <iostream>
#include <cmath>
 using namespace std;
 double const pi=3.141592;
#define ygyl pi / 180 // ygyl ot gradusi w radian 


int main() 
{ double a,b,c, Cyg, R;
 cout<<"Imate wywedeni dylvini na dwe ot stranite w triygylnik a,b, \n";
  cout<<"kakto i zakliucheniq mevdi tqh ygyl C. Tyrsim radiusa na opisanata  \n";
  cout<<"okolo tozi triygylnik okryvnost R. Ygylyt C e w gradusi [1..179], \n";
  cout<<"a stranite realni chisla. Da se systawi programa, chrez koqto se \n";
  cout<<"wywevdat a,b,C i se izwevda R.\n";
  cout<<"Primer: a=3, b=4 C=90 Izhod 2.5\n";

  cout<<"Wywedete strana a: ";cin>>a;
  cout<<"Wywedete strana b: ";cin>>b;
  cout<<"Wywedete ygyl C: ";cin>>Cyg;
  Cyg*= ygyl ; // ygyl ot gradusi w radian 
  c= sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*cos(Cyg));
  R=c/(2*sin(Cyg));//sinusowa teorema
  cout<<"radius na opisana okryvnost: "<<R<<endl;
 system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa ygyl ot gradusi w radian

Начало на страницата

ъгли в триъгълник

Да разгледаме следната задача: Дадени са дължини на две от страните в триъгълник - a,b, както и радиуса R на описаната около същия триъгълник окръжност. Търсим ъглите в същия триъгълник.

Алгоритъм:   Ще ползваме синусова теорема: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R
  От тази теорема ще намерим ъглите срещулежащи на страните a и b.
  Сборът на ъглите в триъгълник е 180 градуса, така последния неизвестен ъгъл е C = 180 - A - B
  Използвана е библиотечната функция asin за изчисляване на ъгъл по въведено отношение.

  Следващата примерна програма дава решена задача за ъгли в триъгълник. Изчислените ъгли се извеждат в десетични градуси.

#include <iostream>
#include <cmath>
 using namespace std;
 double const pi=3.141592;

void ygyl (double a, double b, double R)
{double Cyg, Ayg, Byg; 
//a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R  sin(B) = b/(2*R) sinusowa teorema
 Byg = asin(b/(2*R));//sinusowa teorema
 Byg*=180/pi;// ygyl ot radian w gradusi
 Ayg = asin(a/(2*R));//sinusowa teorema
 Ayg*=180/pi;// ygyl ot radian w gradusi
 Cyg=180-Ayg-Byg;//sumata na 3-te ygyla e 180 gradusa 
 cout<<"Izwevdam yglite w desetichni gradusi:\n";
 cout<<" ygyl sreshu strana A w gradusi : "<<Ayg<<endl;
 cout<<" ygyl sreshu strana B w gradusi : "<<Byg<<endl;
 cout<<" ygyl sreshu strana C w gradusi : "<<Cyg<<endl;
} // ygyl 

int main() 
{ double a,b, R;
  cout<<"Imate wywedeni dylvini na dwe ot stranite w triygylnik a,b - realni\n";
  cout<<"chisla, kakto i R radiusa na opisanata okolo tozi triygylnik okryvnost.\n";
  cout<<"Tyrsim yglite na tozi triygylnik w desetichni gradusi. \n";
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat dylvina za a,b,R\n";
  cout<<"i se izwevdat trite ygyla w tozi triygylnik - desetichni gradusi.\n";
  cout<<"Primer: a=3, b=4 R=2.5 Izhod A=36.8699 B=53.1301 C=90\n";
  cout<<"Wywedete strana a: ";cin>>a;
  cout<<"Wywedete strana b: ";cin>>b;
  cout<<"Wywedete radiusa R: ";cin>>R;
  ygyl ( a, b,  R);
system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa ygyl w triygylnik

Начало на страницата

отношение на ъгли в триъгълник

Вътрешните ъгли в триъгълник са представени като отношение между естествени числа. Търсим размер на всеки отделен ъгъл от триъгълник в десетични градуси. Пример:1, 2, 3 Изход: 30,60,90.

Алгоритъм:

Сборът от вътрешните ъгли в триъгълник е 180 градуса. Въвеждат се коефициентите o1,o2,o3. Изчислява се тяхната сума S. Търсим общ множител за всеки отделен ъгъл o0 = 180/S. Стойностите за всеки отделен ъгъл са: I-ви ъгъл yg1=o0*o1; II-ри ъгъл yg2=o0*o2; III-ти ъгъл yg3=o0*o3;

Следващата примерна програма дава решена задача за отношение на ъгли в триъгълник:

#include<iostream>
using namespace std;

const int all=180;//suma na ygli w triygylnik


void ygyl (int o1, int o2, int o3)
{ double obs,yg1,yg2,yg3;
  obs=180/(o1+o2+o3);
  cout<<"Obsh nnovitel: "<<obs<<endl;
  yg1=obs*o1;
  yg2=obs*o2;
  yg3=obs*o3;
  cout<<"1-wiq ygyl e: "<<yg1<<endl;
  cout<<"2-riq ygyl e: "<<yg2<<endl;
  cout<<"3-tiq ygyl e: "<<yg3<<endl;
  }// ygyl 

int main()
{ int o1,o2,o3;
  cout<<"W triygylnik wytreshinte ygli sa wywedeni kato otnoshenie.\n";
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat estestweni chisla\n";
  cout<<"o1, o2, 03 ot interwala [1..100] za otnoshenie mevdu ygli i se \n";
  cout<<"izchislqwat yglite na triygylnika w desetichni gradusi.\n";
  cout<<"Primer 1,2,3 Izhod:30,60,90.\n";
  cout<<"Wywedete koeficient za ygyl 1 [1..10]: ";cin>>o1;
  cout<<"Wywedete koeficient za ygyl 2 [1..10]: ";cin>>o2;
  cout<<"Wywedete koeficient za ygyl 3 [1..10]: ";cin>>o3;
  ygyl  ( o1, o2, 03);
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa ygli w triygylnik

Начало на страницата

хорда и ъгъл на дъга

Дадена е окръжност с радиус R и хорда в нея с дължина L. Да се изчисли ъгъл на по-малката дъга, принадлежаща към хордата.

   Алгоритъм:    Разглеждаме равнобедрен триъгълник с основа хорда L и бедра – радиус R.    Спускаме височина към основата и разглеждаме вече правоъгълен триъгълник, чийто ъгъл при върха е половината от търсения ъгъл – sin(A/2) = 0.5*L / R.
   Функция синус с аргумент ъгъл изчислява отношение на срещулежаща страна към хипотенуза.
   Функция аркус синус с аргумент отношение на срещулежаща страна към хипотенуза изчислява ъгъл.
   Използваме библиотечна функция asin за изчисляване на търсения ъгъл на по-малката дъга.
   Формираният ъгъл от двата радиуса се явява централен ъгъл в тази окръжност, така ъгълът при върха на равнобедрения триъгълник е търсения ъгъл на по-малката дъга.
   Следващата примерна програма дава решена задача за хорда и ъгъл на дъга:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double const pi=3.141592;
#define ygyl 180/pi  //preobrazuwane ygyl w radian - gradusi  

int main()
{ double R,L,yg,a;
  cout<<"Imame okryvnost s radius R i horda w neq s dylvina L.\n";
  cout<<"Tyrsim ygyla na po-malkata dyga, prinadlevasha na hordata.\n";
  cout<<"Primer: R=5, L=5 Izhod ygyl = 60.\n";

  cout<<"Wywedete radius: ";cin>>R;
  cout<<"Wywedete dylvina ma horda: ";cin>>L;
  yg = 2 * asin(0.5*L/R);
//Pitagorowa teorema R - hipotenuza 0.5*L - katet za 1/2 ot dygata
  yg *=  ygyl; 
  cout<<"dygata e s ygyl w gradusi: "<<yg<<endl;
system("pause");
return 0;
}//kraj na programa horda ygyl na dyga

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

Изпълними приложения за

Превръщане на ъгъл - градуси в радиан

алгоритъм за превръщане на ъгъл - градуси в радиан

периметър по въведени две страни и ъгъл

радиус на описана окръжност по въведени две страни и ъгъл

ъгли в триъгълник

отношение на ъгли в триъгълник

хорда и ъгъл на дъга