Правоъгълник - страни, диагонали, периметър и лице
лице и периметър на правоъгълник
най-голям триъгълник в правоъгълник
ъгъл между диагонали в правоъгълник
най-голямо лице на правоъгълник
два вместени правоъгълника
периметър на правоъгълник – лице и съотношение на страни
Двуизмерна геометрична фигура с четири равни вътрешни ъгъла ще наричаме правоъгълник. Правоъгълникът е частен случай на успоредник с прав ъгъл. В един правоъгълник всяка двойка срещулежащи страни са успоредни, а всяка двойка прилежащи страни сключват прав ъгъл. Квадратът е частен случай на правоъгълник с равни прилежащи страни. Във всеки правоъгълник: срещулежащите ъгли са равни, срещуположните страни са равни, диагоналите са равни и се разполовяват от пресечната си точка. Тази точка е и център на описаната окръжност. Вписана окръжност, която има допирна точка с всяка от страните е възможна само при частния случай на правоъгълник - квадрата. Максималната вписана окръжност в един правоъгълник има диаметър по-малката страна на същия правоъгълник. От определението за правоъгълник следва, че всяка от страните в един правоъгълник се явява и негова височина. Диаметър на описана около правоъгълник окръжност: d = sqrt (a*a +b*b) Диаметър на описана около квадрат окръжност: d = a * sqrt (2) Диаметър на вписана в квадрат окръжност: d = a
лице и периметър на правоъгълник
Дадени са две прилежащи страни a,b от правоъгълник – естествени числа от интервала [1..101]. Търсим периметър P и лице S и радиус на описаната окръжност R за същия правоъгълник.
АлгоритъмP = 2*(a+b)
S = a*b
R = 0.5* sqrt(a*a + b*b) – от теоремата на Питагор
Следващата примерна програма дава решена задача за лице и периметър на правоъгълник.
най-голям триъгълник в правоъгълник
Дадени са две прилежащи страни a,b от правоъгълник – естествени числа от интервала [1..101]. Страните на правоъгълника са успоредни на координатните оси, върховете са ABCD. Дадени са и координати на точка M(x,y), принадлежаща на този правоъгълник. Координатите на точката са въведени като относителни спрямо началния връх А в същия правоъгълник. Точката M е свързана с всеки от върховете в правоъгълника като са формирани следните триъгълници AMB, BMC, CMD, DMA. Търсим триъгълника с най-голямо лице.
Алгоритъм:А) Можем да използваме ориентирано лице за всеки от триъгълниците, като координатите за отделните точки са:
A - x=0, y=0
B - x=a; y=0
C - x=a, y=b
D - x=0, y=b
M - x=Mx; y=My
Последователно изчисляваме лицето на всеки от триъгълниците и определяме най-голямото лице чрез алгоритъм за търсене на максимална стойност в редица.
Б) Последователно изчисляваме лицата на всеки от триъгълник (страна по височина към нея) и записваме стойностите в масив:
0 – Samb=a*My/2
1 – Sbmc = b*(a-Mx)/2
2 – Scmd = a*(b-My)/2
3 – Sdma = b*Mx/2
Определяме най-голямото лице чрез алгоритъм за търсене на максимална стойност в редица.
Следващата примерна програма дава решена задача за най-голям триъгълник в правоъгълник:
ъгъл между диагонали в правоъгълник
Дадени са две прилежащи страни a,b от правоъгълник – естествени числа от интервала [1..101]. Ще означим с ABCD върховете на правоъгълника. В страната AB има точка N, разделяща я на отсечки с дължина p и q – AN=p, BN=q. Диагоналът в правоъгълника DB се пресича с отсечката SN в точка M. Търсим ъгъл NMB.
Алгоритъм:Ще изчислим последователно ъглите NBD,BNC, NMB=180-( NBD+BNC)
Формулата за ъгъла е дадена в градуси, но резултатът ще бъде изведен в радиани.
Разглеждаме правоъгълния триъгълник BAD. Ъгъл ABD = atan(b/(p+q)). Ъгъл NBM=ABD – като общ ъгъл
Разглеждаме правоъгълния триъгълник NBC. Ъгъл BNC = atan(b/q).
NMB=3.141592- ( NBD + BNC )
Следващата примерна програма дава решена задача за ъгъл между диагонали в правоъгълник:
най-голямо лице на правоъгълник
Даден е правоъгълник с въведени дължини на прилежащите му страни. Дължините на страните са естествени числа от интервала [1..101]. Търсим друг правоъгълник, който има същия периметър както началния, но е с възможно най-голямото лице.
Алгоритъм:От всички правоъгълници с равен периметър квадратът е с най-голямо лице.
Въвеждаме страните на началния правоъгълник a и b.
Изчисляваме периметъра P на началния правоъгълник P=2*(a+b).
Изчисляваме лицето S на правоъгълника S=a*b.
Страната на търсения квадрат е с дължина 1/4 от изчисления периметър на началния правоъгълник kwad=P/4.
Двата периметъра на началния правоъгълник и на квадрата са равни.
Изчисляваме лицето на квадрата S=kwad*kwad.
два вместени правоъгълника
Дадени са два правоъгълника съответно със страни a1,b1 и a2, b2. Трябва да се извърши проверка дали единия правоъгълник може изцяло да се вмести в другия правоъгълник.
АлгоритъмПоследователно се въвеждат лицата на двата правоъгълника a1,b1; a2, b2.
Два правоъгълника могат да се вместят изцяло един в друг ако са изпълнение едновременно и двете условия:
а) по-малката страна на по-малкия по размери правоъгълник е по-малка или равна на по-малката страна на другия правоъгълник;
б) по-голямата страна на по-малкия по размери правоъгълник е по-малка или равна на по-голямата страна на другия правоъгълник.
В задачата се изисква проверка дали единия правоъгълник може да се вмести в другия правоъгълник без да се уточнява дали първия във втория или обратно.
Възможни са няколко подхода:
1) Подреждаме и двете страни във всеки правоъгълник примерно във възходящ ред и после ги сравняваме;
2) извършваме проверка на всеки от 4-те възможни случая.
Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.