Правилен многоъгълник - страни, диагонали, периметър, лице
многоъгълник - брой диагонали
многоъгълник - апотема
многоъгълник - периметър
Изпъкнал многоъгълник с равни вътрешни ъгли и равни дължини на страни е правилен многоъгълник. Често се среща термина правилен N-ъгълник, като с N (естествено число) се означава броя страни в този многоъгълник. За да разберем дали даден многоъгълник е изпъкнал, не е самопресичащ се може да се ползва следния алгоритъм. Избира се връх за начален, както и посока на обхождане. Взема се първата двойка съседни върхове и се прекарва права. Проверява се дали има друг връх, който да лежи на тази права или връх, който да се намира в полуравнина, различна от останалите върхове. Ако многоъгълникът е изпъкнал ще важи следното правило за всяка двойка върхове: само 2 върха лежат на една права, правата през всеки два върха разделя равнината на две и всички останали върхове се намират в една и съща полуравнина.

изпъкнал многоъгълник

самопресичащ се многоъгълник
Брой диагонали в правилен многоъгълник - за N>2 броя диагонали = N*( N - 3)/2 Размер на вътрешен ъгъл в правилен многоъгълник: 180* (1 - 2/N) – в градуси или ( N−2 )* π /N – в радиани. В практиката често се налага изчисляване лице на неправилен многоъгълник. Триангулация на многоъгълник е представянето му като множество триъгълници, чийто страни са или страни в многоъгълника или са вътрешни отсечки за многоъгълника. Ако върховете на многоъгълника са зададени с координати можем да разглеждаме многоъгълника като съвкупност от триъгълници с общ връх. Използвайки алгоритъм на Херон или ориентирано лице лицето на многоъгълника се получава като сума от лицата на съставящите го N-2 броя триъгълници. Най-разпространените задачи за правилен многоъгълник обикновено разглеждат равностранен триъгълник или квадрат. Около всеки правилен многоъгълник може да се опише окръжност. Апотема в многоъгълник е отсечката a, спусната от центъра на многоъгълника перпендикулярно към една негова страна.
Лицето на правилен многоъгълник е S = P * a / 2 – полупроизведението от периметър и апотема.Ще означим с r радиуса на описана около многоъгълник окръжност.
За правилен многоъгълник: апотема, периметър и лице могат да се изразят като:
a = 2 * r * sin(180/N)
P = 2 * N * r * sin(180/N)
S = 0.5 * r * r * N * sin(360/N)
централен ъгъл yg на дъгата към всяка страна на многоъгълника: yg=360/N
дължина на страна b в многоъгълник изразена чрез радиус на вписана/описана окръжност
b = 2 * R * sim ( yg/2 ), където R е радиус на описаната окръжност
b = 2 * r * tg( yg/2 ), където r е радиус на вписаната окръжност
многоъгълник - брой диагонали
Имате изпъкнал N-ъгълник, където N е броят върхове - естествено число от интервала [4..104]. Да се състави програма, чрез която по въведено естествено число N се извежда максималния брой неповтарящи се диагонали в многоъгълника. Пример: 4 Изход: 2

Алгоритъм
Всички възможни отсечки в многоъгълника, свързващи всеки два върха са комбинация на n елемента от 2-ри клас - n*(n -1 )/2. От тази стойност трябва да извадим броя страни n, така броя възможни диагонали в такъв многоъгълник е n*(n-3)/2 за всяко n>3. Изключенията с: 0 - няма обект, 1 - данни за точка; 2 - данни за права.
Следващата примерна програма дава решена задача за брой диагонали в многоъгълник:
многоъгълник - апотема
Имаме правилен многоъгълник, за който са въведени n - брой страни и m - дължина на страна. Да се изчислят апотемата в този многоъгълник, както и радиуса на описаната окръжност.

Алгоритъм
Апотема в правилен многоъгълник е най-късото разстояние между страна от многоъгълника и центъра на вписаната в същия многоъгълник окръжност, т.е. апотемата съвпада с радиуса на вписаната в многоъгълника окръжност.
При дадени окръжност и хорда апотемата е перпендикулярът от центъра на окръжността към средата на хордата.
m - страна на правилния многоъгълник
n - брой страни в многоъгълника
R - радиус на описаната окръжност
Дължина на апотема a в правилен многоъгълник: a = m /(2*tan(pi/n)
радиус на описаната около правилен многоъгълник окръжност R =a/ cos(pi/n)
многоъгълник - периметър
За всеки триъгълник от равнината е валидно твърдението - дължината на най-голямата страна е по-малка от сумата на дължините на останалите страни. Това правило важи и за многоъгълник. Да разгледаме примерна задача за периметър на многоъгълник. Имаме многоъгълник с N броя страни не непременно равни. Дължините на страните са естествени числа. Да се състави програма, чрез която се въвеждат дължините на страните в този многоъгълник и се извежда неговия периметър или съобщение, че тези страни не формират многоъгълник.
АлгоритъмВъвеждаме N - брой страни в многоъгълника.
В цикъл с брой стъпки N въвеждаме дължината на всяка от страните в този многоъгълник.
Събираме последователно дължината на всяка една страна - натрупваме стойност за периметър.
Последователно проверяваме дали това не е най-голямата страна в многоъгълника.
След края на цикъла проверяваме дали удвоенатта дължина на най-дългата страна е по-малка от изчислената стойност на периметъра в този многоъгълник.
В зависимост от резултата се връща стойността на периметъра или 0 - не е формиран затворен многоъгълник.
Следващата програма дава решена задача за периметър на многоъгълник:
Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.