Перпендикуляр - височина в триъгълник, успоредник, трапец

лице на успоредник по две височини
периметър на триъгълник по две височини
периметър на равнобедрен трапец по две височини
периметър на успоредник по две височини
височина и основи на трапец
височина на трапец по въведени лице и средна основа
височини в триъгълник - 2 ъгъла и радиус

Най-общо под перпендикуляр ще разбираме права, която пресича под прав ъгъл друга права. Най-малкото разстояние между точка и права е дължината на перпендикуляра спуснат от точката към правата. В геометрията често се изполва понятието височина, което има същото значение както и перпендикуляр. Пример: височина в триъгълник е перпендикулярът спуснат от връх в триъгълника към срещулежащата страна или нейно продължение. Пресечната точка на височината (перпендикуляра) с тази страна ще наричаме пета на тази височина, а страната към която е спусната - основа към височината. При правоъгълен триъгълник дължината на единия катет е и височина към другия катет. Аналогичен е случая с успоредник, трапец, ромб. При правоъгълник страната е и височина. Друго сходно понятие на перпендикуляр е апотема в многоъгълник. Апотема на многоъгълник е перпендикуляра от точка, представляваща центъра на многоъгълника, към някоя от неговите страни. За отделните фигури височината има различни свойства - в равностранен триъгълник височина към произволна страна има същата дължина както ъглополовящата и медианата.

Ако са въведени всички ъгли в триъгълник могат да се ползват и следните отношения:
лице на триъгълник Sabc = 2 * R * R* sin (ygA) * sin (ygB) * sin (ygC)
височина към страна a ha = sqrt (2* Sabc * sin (ygB) * sin (ygC)/ sin (ygA));
височина към страна b hb = sqrt (2* Sabc * sin (ygA) * sin (ygC)/ sin (ygB));
височина към страна c hc = sqrt (2* Sabc * sin (ygA) * sin (ygB)/ sin (ygC));

лице на успоредник по две височини

Даден е успоредник ABCD с въведени дължини на страни AB, AD, и остър ъгъл DAB. Към страна BC е спусната височина DM, а към страна AD е спусната височина BN. Търсим лице на четириъгълника BNDM.

лице на успоредник по две височини

Алгоритъм:
Четириъгълникът BNDM е правоъгълник - два от срещулежащите ъгли са прави, а срещулежащите страни са две по две успоредни и равни. Така височина DM е равна на височина BN. Разглеждаме правоъгълен триъгълник BAN:
катет BN = AB*sin(DAB) - височина в успоредника;
катет АN = AB*cos(DAB);
Sban = AN*BN/2 - лице на правоъгълен триъгълник
Sabcd = AD * BN - лисе на успоредник страна по височина към нея
Sbndm = Sabcd - 2*Sban - търсеното лице

Следващата примерна програма дава решена задача за лице на успоредник по две височини:
  #include <iostream>
  #include <cmath> 

  using namespace std;
  double const pi=3.141592;
  int main()
  {double ab,ad, yg, dab, bn, an, Sabcd, Sbndm;
    cout<<"Imame usporednik ABCD s wywedeni strani AB,AD i ostyr ygy mevdu tqh DAB.\n";
    cout<<"Kym strana BC e spusnata wisochina DM, a kym strana AD - wisochina BN.:\n";
    cout<<"Tyrsim lice na chetiriygylnika BNDM. \n";
    cout<<"Primer: AB = 10, AD = 10 DAB = 30 Izhod Sbndm = 6.69873\n";
    cout<<"Wywedete strana AD: ";cin>>ad;
    cout<<"Wywedete strana AB: ";cin>>ab;
    cout<<"Wywedete ygyl DAB: ";cin>>yg;
    dab = yg*pi/180;
    bn = ab*sin(dab);// wisochina
    an = ab*cos(dab);
    Sabcd = ad*bn;//strana po wisochina
    Sbndm = Sabcd - an*bn;
    cout<<" lice na prawoygylnik "<<Sbndm<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina i usporednik

Начало на страницата

периметър на триъгълник по две височини

Имаме остроъгълен триъгълник ABC. Въведени са дължините на височина BN и височина CM. Двете височини се пресичат в точка O с остър ъгъл BOM. Търсим периметър на този триъгълник.

периметър на триъгълник по две височини

Алгоритъм
По условие дадения триъгълник е остроъгълен - петата на всяка негова височина лежи на съответна страна.
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника BMO и BNA - те се подобни.
Имат един общ остър ъгъл MBO = ABN. Така ъгъл BAC = BOM
Разглеждаме правоъгълния триъгълник AMC.
страна AC = CM / sin(BOM)
Разглеждаме правоъгълния триъгълник ANB.
страна AB = BN / sin(BOM)
AN = sqrt (AB*AB - BN*BN) - правоъгълен триъгълник ANB
NC = AC - AN
BC = sqrt (NC*NC + BN*BN) - правоъгълен триъгълник BNC
Може да се ползва синусова теорема за изчисляване на останалите ъгли 2*R = a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin (C)

Следващата примерна програма дава решена задача за периметър на триъгълник по две височини:
  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;
  double const pi=3.141592;
  int main()

  { double P, AB, AC, BC,CM, BN, AN, NC,yg, BOM;
     cout<<"Imame ostroygylen triygylnik s wywedeni dylvini na wisochini CM i BN,\n";
     cout<<"kakto i ostriq ygyl mevdu tqh BOM - t.O e presechna tochka mevdu CM i BN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na triygylnik ABC.\n";
     cout<<"Primer: CM = 6, BN = 6 BOM = 60  Izhod P = 20.7846\n";
     cout<<"Wywedete wisochina CM: ";cin>>CM;
     cout<<"Wywedete wisochina BN: ";cin>>BN;
     cout<<"Wywedete ygyl BOM: ";cin>>yg;
     BOM = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     AC = CM / sin(BOM);
     AB = BN / sin(BOM);
     AN = sqrt (AB*AB - BN*BN); // teorema na Pitagor BNA
     NC = AC - AN;
     BC = sqrt (NC*NC + BN*BN);  // teorema na Pitagor BNC
     P = AB + BC + AC;
     cout<<" AB = "<<AB<<" BC = "<<BC<<" AC = "<<AC<<endl;
     cout<<" Perimetyr na triygylnik "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w triygylnik

Начало на страницата


периметър на равнобедрен трапец по две височини

Имаме равнобедрен трапец ABCD, за който са въведени височина към голямата основа DM височина към бедрото BN, както и остър ъгъл между тях BON. Търсим периметър на този равнобедрен трапец.

периметър на равнобедрен трапец по две височини

Алгоритъм
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника BMO и ANB - те се подобни I-ви признак за подобие.
Имат един общ остър ъгъл. Така ъгъл BAN = ъгъл BOM
Разглеждаме правоъгълен триъгълник ANB.
страна AB = BN / sin(BOM)
Разглеждаме правоъгълен триъгълник AMD:
страна AD = DM / sin(BOM);
страна AM = DM / tan(BOM);
страна CD = AB - 2*AM;
периметър на равнобедрен трапец P = AB + CD + 2* AD

Следващата примерна програма дава решена задача за периметър на равнобедрен трапец по въведени височина към голямата основа и височина към бедрото:
  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;

  double const pi=3.141592;
  int main()
  { double P, ab, ad, cd,am,dm, bn, yg, bom;
     cout<<"Imame rawnobedren trapec ABCD s wywedeni dylvini na wisochini DM i BN,\n";
     cout<<"kakto i ostriq ygyl mevdu tqh BOM - t.O e presechna tochka mevdu DM i BN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na tozi rawnobedren trapec.\n";
     cout<<"Primer: DM = 10, BN = 15 BOM = 45  Izhod P = 50.7107\n";
     cout<<"Wywedete wisochina DM: ";cin>>dm;
     cout<<"Wywedete wisochina BN: ";cin>>bn;
     cout<<"Wywedete ygyl BOM: ";cin>>yg;
     bom = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     ab = bn / sin(bom);
     ad = dm / sin(bom);
     am = dm / tan(bom);
     cd = ab - 2*am;//swojstwo na rawnobedren trapec
     P = ab + cd + 2*ad;
     cout<<" AB = "<<ab<<" AD = "<<ad<<" CD = "<<cd<<endl;
     cout<<" Perimetyr na rawnobedren trapec "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w rawnobedren trapec

Начало на страницата


периметър на успоредник по две височини

Имаме успоредник, за който са въведени дължини на височина DM - към страна AB, както и височина DN към страна BC. Въведен е също и остър ъгъл MDN. Търсим P - периметър на този успоредник.

периметър на успоредник по две височини

Алгоритъм
Разглеждаме четириъгълник MBND - с два прави ъгъла.
Сумата от ъгъл MBN и ъгъл MDN е 180 градуса.
Сумата от ъгъл BAD и ъгъл ABC e 180 градуса - като прилежащи към една и съща стрaна в този успоредник.
Следователно ъгъл MDN = BAD = BCD - срещулежащи ъгъл в успоредник.
Разглеждаме правоъгълен триъгълник AMD:
AD = DM / sin(MDN)
Разглеждаме правоъгълен триъгълник CND:
CD = DN / sin(MDN)

Следващата примерна програма дава решена задача за периметър на успоредник по две височини:
  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;
  double const pi=3.141592;

  int main()
  { double P, ad, cd, dm, dn, yg, mdn;
     cout<<"Imame usporednik ABCD s wywedeni dylvina na wisochina DM kym strana AB i \n";
     cout<<"wisochina DN kym strana BC,  kakto i ostriq ygyl mevdu tqh MDN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na tozi usporednik.\n";
     cout<<"Primer: DM = 10, DN = 15 MDN = 30 Izhod P = 100\n";
     cout<<"Wywedete wisochina DM: ";cin>>dm;
     cout<<"Wywedete wisochina DN: ";cin>>dn;
     cout<<"Wywedete ygyl MDN: ";cin>>yg;
     mdn = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     ad = dm / sin(mdn);
     cd = dn / sin(mdn);
     P =2*( ad + cd );
     cout<<" AD = "<<ad<<" CD = "<<cd<<endl;
     cout<<" perimetyr na usporednik "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w usporednik

Начало на страницата

височина и основи на трапец

Имаме трапец ABCD, за който са въведени дължини на основи AB,CD, както и неговата височина CH. Търсим диаметър d на описаната около този трапец окръжност.

височина и основи на трапец

Алгоритъм
Около четириъгълник може да се опише окръжност, ако сумата от двойките срещулежащи ъгли е равна.
Около трапец може да се опише окръжност, ако той е равнобедрен.
Разглеждаме основите на този трапец като две успоредни хорди, между които лежи центъра на описаната окръжност.
Можем да разглеждаме дадения трапец като съставен от два триъгълника - разделянето е с диагонал в трапеца.
Единият от тези триъгълници е тъпоъгълен - с малката основа CD и центърът на описаната окръжност е извън него.
Другият триъгълник е остроъгълен - с голямата основа AB.
Описаната окръжност около триъгълника е със същия диаметър, както описаната окръжност около този трапец.
От връх C спускаме височина към основа AB.
Разглеждаме вписания триъгълник ABC, като съставен от два правоъгълни триъгълника AHC, BHC
основа AB = AH + BH;
AH = (AB + CD) / 2 - от свойство на равнобедрен трапец;
BH = (AB - CD) / 2 - от свойство на равнобедрен трапец;
ъгъл ACH = atan (AH / CH) - правоъгълен триъгълник AHC;
ъгъл BCH = atan (BH / CH) - правоъгълен триъгълник BHC;
ъгъл ACB = ACH + BCH;
d = AB / sin (ACB) - диаметър на описана окръжност около този триъгълник ABC и трапец ABCD

Вариант 2
AC = sqrt (AH * AH + CH * CH) - хипотенуза в правоъгълен триъгълник AHC
BC = sqrt (BH * BH + CH * CH) - хипотенуза в правоъгълен триъгълник BHC
sin(HBC) = CH / BC правоъгълен триъгълник BHC
ъгъл ABC = HBC
d = AC / sin (ABC) - диаметър на описана окръжност около този триъгълник ABC и трапец ABCD

Следващата примерна програма дава решена задача за диаометър на описана окръжност около трапец по въведени височина и основи:
 #include <iostream>  
 #include <cmath> 
 using namespace std;  
 
 int main()  
 { double AB, CD,CH, AH, BH,ACB, d;  
    cout<<"Imame prawoygylen trapec s wywedeni osnowi AB,CD i wisochina CH.\n";  
    cout<<"Okolo tozi trapec e opisana okryvnost.\n";  
    cout<<"Tyrsim d - diaametyr na opisanata okryvnost:\n";  
    cout<<"Primer: AB = 10; CD = 4; CH = 5 Izhod d=10.0319 \n";  
    cout<<"Wywedete osnowa AB: ";cin>>AB;  
    cout<<"Wywedete osnowa CD: ";cin>>CD;  
    cout<<"Wywedete wisochina CH: ";cin>>CH;  
    AH = (AB + CD) / 2;  
    BH = (AB - CD) / 2;   
    ACB = atan (AH / CH) + atan (BH / CH);  
    d = AB / sin (ACB);  
    cout<<" diametyr na opisna okryvnost "<<d<<endl;  
 system ("pause");  
 return 0;  
 }// kraj na programa wisochina  

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

 
Размер на шрифта
Increase Font Size Option 3 Reset Font Size Option 3 Decrease Font Size Option 3
Bulgarian Afrikaans Albanian Arabic Armenian Azerbaijani Basque Belarusian Catalan Chinese (Simplified) Chinese (Traditional) Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Filipino Finnish French Galician Georgian German Greek Haitian Creole Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Irish Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Macedonian Malay Maltese Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swahili Swedish Thai Turkish Ukrainian Urdu Vietnamese Welsh Yiddish
Търсене в сайта: